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21年前，克雷数学研究所发表了数学领域的七大难题，—— & quot千禧年大奖问题& quot。回答这些问题将为基础数学带来新的见解，甚至可能通过密码学和其他技术对现实世界产生影响。如今，这些问题只解决了一个。

数学中的主要问题通常不像其他科学领域的秘密那样总能吸引外界的兴趣。"很多人还在困惑数学研究到底是什么样子，或者它的意义是什么。"密歇根大学的数学家威霍说。虽然人们经常误解她的工作性质，但何说这并不难解释。"我在聚会上的闲聊总是关于椭圆曲线。"她补充道。何经常问参加聚会的人。你还记得中学时学的抛物线和圆吗？一旦你开始创建三次方程，事情就会变得非常困难.关于他们有许多未解决的问题。"

一个名为贝赫和斯维讷通-戴尔猜想的著名未解之谜涉及椭圆曲线方程解的性质,它是由粘土数学研究所(CMI)的创始科学顾问委员会选出的七个千年奖谜题之一。这些选定的问题被该研究所描述为& quot数学家们在世纪之交试图解决的最困难的问题& quot。2000年5月24日，在巴黎举行的一次特别活动中，首个证明或推翻任意一个难题的人提供100万美元的奖励.学院宣布了2018年修订后的规则，规定成绩必须& quot被全球数学界普遍接受& quot。

2000年的公告给人们提供了一个& quot原因& quot价值700万美元解决这七个问题：黎曼猜想、Behr和Svineton-Dale猜想、P/NP问题、杨-米尔斯的存在性和质量差、庞加莱猜想、纳维尔-斯托克斯的存在性和光滑性、霍奇猜想。尽管有巨大的势头和经济回报，21年后只有庞加莱猜想得到了证明.

意料之外的答案

2002-2003年，俄罗斯科学院斯特奇洛夫数学研究所的俄罗斯数学家格里高利佩雷尔曼(GrigoriPerelman)在网上分享了他解答庞加莱猜想的工作。2010年，CMI宣布佩雷尔曼已经证明了这个猜想，在这个过程中，还解决了已故数学家威廉瑟斯顿(WilliamThurston)的相关几何猜想。然而，很少接触公众的佩雷尔曼拒绝了这笔奖金。

据CMI介绍，庞加莱猜想关注的是一个拓扑问题，即三维球面是否“固有”被称为“单连通”的特性。的特性是指，如果你在一个球体的表面缠绕一根橡皮筋，你可以将橡皮筋压缩到一个点，而不会使其断裂或让其离开表面。二维球体或甜甜圈的孔是简单连通的，但甜甜圈(或其他带孔的形状)不是。

二维球体上的环被收紧到一点(来源：维基百科)

牛津大学数学家兼CMI主任MartinBridson将佩雷尔曼的证明描述为& quot过去20年中最重要的事件之一& quot和& quot我们理解三维空间的桂冠& quot。这一发现可能会在未来带来更多的见解。"证明需要新的工具，而这些工具本身正在被应用到数学和物理中，影响深远。"弗吉尼亚大学数学家肯诺诺说。

小野一直专注于另一个千年难题：黎曼猜想，涉及素数及其分布。2019年，他和他的同事在《美国科学院院刊》上发表了一篇论文，该论文重新审视了一种古老而被抛弃的方法，并用它来寻找答案。在附带的评论中，普林斯顿高等研究院的数学家、1974年菲尔兹数学奖得主EnricoBombieri将这项研究描述为“一个”。重大突破& quot。然而，小野说，把他的工作描述为& quot黎曼猜想即将被证明& quot。

到目前为止，事实是& quot列出的问题中只有一个得到了解决& quot对专家来说并不奇怪。普林斯顿大学的数学家、2014年菲尔兹奖得主ManjulBhargava说& quot解决的问题比我预期的多一个& quot。Bhargava本人最近报道了一些与Behr和Svineton-Dale猜想有关的结果。在其中一项成就中，他说他和他的同事是& quot证明超过66%的椭圆曲线满足贝赫和斯维讷通-戴尔猜想"

回答这些问题并不容易，但有些问题可能特别难。P/NP问题似乎很难解决，以至于奥斯汀德克萨斯大学的计算机科学家Scott Aaron称之为& quot显示我们的无知& quot。这个问题涉及容易验证的问题（一类称为NP的查询）是否也有易于找到的解（一类称为P的问题）.Aaronson写了很多关于P/NP问题的文章。在2009年发表的一篇论文中，他和高级研究学院的数学家和计算机科学家、2021年阿贝尔奖获得者之一AviWigderson展示了证明P类不同于NP类的新障碍。Aaronson和Wigderson发现的障碍是迄今为止发现的第三个。

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麻省理工学院的理论计算机科学家和数学家VirginiaVassilevskaWilliams说：在证明哪些方法不起作用方面已经取得了很多进展.证明P类不等于NP类将是证明密码学有很好基础的重要敲门砖，现.

在的密码学基于未经证实的假设。”其中之一就是P不等于NP。“为了表明你无法破解人们在现代计算机中需要的加密协议，包括那些保护我们的金融和其他在线个人信息安全的协议，你至少需要证明P不等于NP。”Vassilevska指出。

“如果让我用数字说明说有多大把握，我会说P不等于NP的机会有97%或98%。”Aaronson说。

攀登珠峰

寻找“千禧年大奖难题”的答案类似于第一次尝试攀登珠穆朗玛峰，Ono表示：“在此过程中，有许多阶梯，它们象征着取得的进展。真正的问题是：你能到达大本营吗？就算可以，你也知道你仍然离峰顶很远。”

对于诸如贝赫和斯维讷通-戴尔猜想猜想以及黎曼猜想等问题，Ono说：“显然我们还在尼泊尔，”——登山的出发国之一——“但当我们到达大本营之后呢？”数学家可能仍然需要额外的“装备”才能到达顶峰。“我们现在正试图弄清楚数学中这些‘高科技工具’和‘氧气瓶’会是什么，它们将帮助我们达到顶峰。”Ono说。谁知道在当前的研究和这些问题的可能解决方案之间会遇到多少障碍？“也许有20个,也许我们比我们想象的更接近。”Ono说。

尽管这些问题很难，数学家对长期前景持乐观态度。“我非常希望，在我担任克雷研究所的所长时，其中一个问题会得到解决。”Bridson说。他指出CMI正在制定战略，以最好的方式继续引起对这些问题的关注。“但必须承认，它们是非常困难的问题，可能会在我的余生中继续影响数学却没有得到解决。”

撰文：RachelCrowell

翻译：莫泽鑫

审校：王昱

原文链接：

https://www.scientificamerican.com/article/the-top-unsolved-questions-in-mathematics-remain-mostly-mysterious/