在数学中，二次方程是处理变量自乘问题的一种运算。这种语言来源于一个事实，即正方形的面积是其边长乘以自身。单词& quot二次& quot来自拉丁方块quadratum。

二次方程描述了现实世界中的很多现象，比如火箭飞船会在哪里着陆，产品要花多少钱，或者一个人在河里划上划下要花多长时间。二次方程因其应用广泛，具有深远的历史意义，是代数史的基础。

抛物线

二次方程的数学本质上是和叫做抛物线的U型曲线有关的。也许最熟悉的例子是饮水机喷出的水。还有很多其他的例子，比如卫星天线的横截面或者吊桥上的电缆。

抛物线是古希腊许多数学家的重要形状，如欧几里得(约公元前300年)、叙拉古的阿基米德(公元前287-212年)、佩尔加斯的阿波罗尼奥斯(公元前262-190年)和亚历山大的帕普斯(公元290 -350年)。这些学者已经注意到抛物线的一些固有的数学性质：

1.抛物线是与点（焦点)和一条直线(准线)。一个恰当命名的焦点在许多现代工程应用中非常重要，因为它是抛物面天线上反射入射波的点，无论是无线电波(如卫星天线)、光(如聚光太阳能电池阵)还是声音(如抛物面麦克风)。

2.抛物线也是通过以平行于圆锥体侧面的斜度切割圆锥体而产生的。因此，抛物线位于一组称为圆锥曲线的数学曲线中。这一发现后近2000年，莱昂纳多达芬奇(公元1452-1519年)在他对抛物线的研究中了解到这一特性。燃烧的镜子& quot开发了一个可以画抛物线的指南针。

3.抛物线高度的变化与抛物线宽度平方的变化成正比。例如，如果抛物线高1个单位，宽1个单位，那么它就是9(3平方)个单位高，3个单位宽。正是从这一性质，阿波罗尼奥斯派生出了单词& quot抛物线& quot源自parabole，希腊单词& quot申请& quot意味着宽度是& quot应用& quot(相乘)本身。这是把抛物线的形状和二次数学的概念联系起来的一个属性。

虽然抛物线无处不在，但需要注意的是，它不同于其他U型曲线，如悬链线(悬链线)、儿童秋千上的路径(弧线)、直立手电筒照在墙上(双曲线)或弹簧侧视图顶部(正弦曲线)。这些其他曲线不具有上述抛物线特征。

弹丸运动

年抛物线与二次数学的联系在公元16世纪意义重大，当时欧洲文艺复兴学者注意到炮弹、迫击炮等抛射体以抛物线轨迹行进。那个时代的许多著名科学家，包括达芬奇和伽利略(1564-1642)，都研究过抛射体运动。根据约瑟夫的说法。纽约城市大学历史学教授道本说，正如文艺复兴时期的艺术家痴迷于在艺术中准确描绘现实一样，伽利略也同样痴迷于在数学中准确描绘现实。1638年，伽利略发表了第一个证明：地球引力的匀加速会导致抛物线轨迹。可以用数学来描述，运动是科学革命进步的关键。

大约与伽利略同时，法国哲学家和数学家勒内笛卡尔(1596-1650)出版了《几何学》 (1637)，描述了在一个叫做解析几何的领域中绘制代数方程的技术。他的方法的一个变种至今仍在使用。如下图，二次方程的图形是一条抛物线。

二次曲线图

为了了解今天数学家、科学家和工程师所使用的二次求解方法，我们来探讨一个古老的数学问题：黄金分割率。顺便说一句，在& quot误解黄金比例& quot(1992)，缅因大学数学教授乔治马科夫斯基(George Macovschi)指出，黄金分割率的历史意义和美学吸引力经常被夸大，尽管它确实出现在数论(与斐波那契数列)、几何学(例如在二十面体中)和生物学(例如植物叶片之间的角度)中。

确定黄金比例的一种方法如下：

找一个有一定长度和宽度的长方形。当正方形的一端被切掉时，剩下的被丢弃的矩形将具有相同的形状或& quot纵横比& quot作为原始矩形(但旋转成直角)。

虽然古希腊人用几何来解决这个问题，但我们会用今天教的代数。

为了确定什么样的长度和宽度会产生黄金比例，我们给短边的长度为1，长边的长度为x。因为长宽比被定义为长边除以短边，所以这个矩形的长宽比是x/1，或者简单地说是x。如果我们从这个矩形中切一个正方形，剩余废料的长边的长度是1，短边的长度是x1。因此，纵横比为1/(x1)。知道了整个矩形和较小的废矩形的长宽比应该是一样的，我们的方程就是x=1/(x1)。

今天教学生解这个方程的方法如下。从等式开始：

x=1/(x1)

将等式的每一边乘以表达式x1:

x(x1)=1

将x分布在表达式x1上：

x xx 1=1

变量x乘以自身写出x，这个平方就是方程变成二次方程的原因：

xx=1

现在，我们从方程的每一边减去1，以实现所谓的二次方程的标准形式：

xx1=0

等效地，这可以写成：

(1) x (-1) x (-1)=0

将它与方程式a x进行比较

+b·x+c=0进行比较，得出a=1、b=-1和c=-1的值。这些值在二次公式中用作

符号“±”表示“加号或减号”。因此，二次公式总是给出两个解。将这些值中的任何一个代入方程x=1/(x–1)以测试这是否使等式两边的结果相同。确实如此，这意味着该方法有效。请注意，这些值也是方程的标准形式(y=x²–x–1)与X轴相交的位置，也就是y=0的位置（见上图）。在这种情况下，正值具有更大的物理意义，因为矩形不应该有负宽度。

古代巴比伦起源

为了深入了解二次公式的来源及其工作原理，让我们研究一下公元前1800年左右在古代巴比伦泥板上使用的程序（TabletBM13901，大英博物馆）。根据JacquesSesiano在“AnIntroductiontotheHistoryofAlgebra”（AMS，2009）中的说法，这款平板电脑上的第一个问题大致可以转化为：

我将正方形的面积和边相加得到¾。广场的边是什么？

这个问题用现代符号写成：

x²+x=¾

以下是对Sesiano描述的巴比伦和阿拉伯方法的复述。首先，我们将翻译巴比伦人使用的步骤，还将它们翻译成我们今天在代数中使用的符号语言。完全象征性的语言于17世纪首次出现在欧洲。因为巴比伦人不知道负数，所以有必要将方程写成x2+px=q，其中p=1和q=¾。当将此与现代标准形式ax2&+bx+c=0进行比较时，它表明p=b/a和q=-c/a。

现在让我们像公元9世纪阿拉伯数学家所做的那样，使用几何方法推导出并证明这个过程是正确的。以下是波斯数学家Al-Khwārizmī出版的“通过完成和平衡计算的简明书”中出现的证明的变体”在公元820年。尽管巴比伦人几乎可以肯定地从几何学中获得了他们的程序方法，但直到7世纪中叶到13世纪中叶的伊斯兰教黄金时代，推导的书面记录和正确性证明都没有出现。穆斯林统治着一个从中亚延伸到北非和伊比利亚的帝国。

如果我们“插入”p=b/a和q=-c/a，则该公式确实可以简化为现代形式的二次方程，就像今天所教授的那样。

多年来，非洲-欧亚大陆使用了各种形式的二次公式。公元前19世纪左右的巴比伦人和埃及人、公元前7世纪的迦勒底人、公元前4世纪的希腊人和公元5世纪的印度人使用了程序版本修辞和切分音形式是由阿拉伯人在9世纪开发的公元世纪，以及公元11世纪欧洲人的切分音和符号形式随着对负数、无理数、虚数和复数的了解越来越多，每个文明使用的方法都在进步。