本文是关于一个虚构的对象，称为具有一个元素的域，有时表示为F_un。f代表域名和& quotun & quot代表1。当我第一次听说这件事的时候，我认为这是一个笑话。对象是& quot好玩& quot而且不存在。

但是很多伟大的数学家在这方面做了很多研究，比如JacquesTits，AlainConnes，YuriManin等等。

一个微妙的公式可能会对数学的许多分支产生巨大的影响，包括计算复杂性理论、非交换几何和代数数论。

本文将重点讨论它为什么可能对黎曼猜想有帮助。让我们开始吧。

域是什么？

场是数学的基本对象之一。场是有两个运算(加法和乘法)的集合，其中有一个加法单元(0)和一个乘法单元(1)，每个元素(除了0)都有这两个运算的逆。

字段有很多种，其中实数字段是最容易理解的。每个实数都有一个加法的逆元素。例如，3的加法倒数是-3，因为3 (-3)=0。每个非零实数都有一个乘法的逆元素。例如，3的乘积的倒数是(1/3)。这是因为3*(1/3)=1。

同样，有理数集也是一个定义域。还有，复数(虚数)的集合也是一个定义域。

不是所有的数字系统都是域。一组整数不能形成一个定义域，因为虽然有加法和乘法运算，但3没有乘法逆(1/3不是整数)。

不是所有的域都是无限的。实际上，一个带& quotmod3 & quot算术(表示为/3)是具有三个元素{0，1，2}的字段。

Mod3算术可以正常加减乘除，然后像时钟一样循环：0，1，2，3=0，4=1，5=2，6=0，(也可以用负号，-1=2等。).

我们可以验证：

1 2=0。这说明1是2的加法逆(反之亦然)。2*2=4=1。这说明2是它自己的乘法逆元。这是仅有的两个难以验证的数字，所以/3确实是一个字段。

在这一点上，域是很容易理解的。注意在有限域的情况下会发生一些奇怪的事情。如果将1自身加三次，就会得到加法恒等式1 1 1=0。但是如果你在一个无限域中这样做，那就永远不会发生。

如果1与自身相加有限次得到0，相加的次数称为定义域的特征。我们用字母p，3的特征是3。

如果1加到自己身上，无论做多少次都得不到0，那么这个域的特征就是0。

重要术语：:我将在这篇文章中继续提到积极的特征。这是指示特征不等于0的标准方式。换句话说，p0。

大部分关于抽象代数的第一课都会证明一个惊人的事实，那就是在有限域的情况下，这个特征永远是素数！另外，有限域中元素的个数总是这个素数的幂，也就是P (P是这个域的特征)。

相反，对于任何素数幂，包含如此多元素的域都有一个显式构造。因此，一个域有2个元素、3个元素、4个元素、5个元素、7、8、9等等。没有包含6或10个元素的字段。

为了完整起见，并不是所有的无限域都具有0的特性。这种有限的解释很容易给人一种错误的印象。

这给我们带来了一个关键问题，没有一个域只有一个元素！(即1不是素数幂)。

在深入讨论这个问题之前，我们先绕一绕，看看为什么有些人会想拥有这样一个东西。

有限域上的黎曼假设

这是真正酷的部分。

事实证明，通常更容易& quot做几何& quot而不是零特征。原因我就不细说了。

所以，有时候它是一个很好的工具。你可以把你要证明的东西简化成一个正特征，在那里证明，然后尝试用某种方式升级成零特征(这其实是本文的一个要点)。

在正特征中定义几何的意义有点复杂，但我们可以依靠一个相当准确的类比。或上的几何只研究由零套多项式形成的形状。

所以，如果世界上有两个变量，一个多项式p(x，y)=y-x，当它等于0时，你得到的几何是抛物线：

x=0

或者更熟悉的y=x:

我将在接下来的两篇文章中讨论其他理论(霍奇猜想、费尔汀斯定理和莫德尔猜想)。

当你在网上这样做的时候，你会发现拓扑结构和整数解的个数之间有一个有趣的相互作用(费马大定理等。)

我们可以在有限域上做同样的事情。域/3上的多项式p(x，y)=y-x的几何形式来自于代入并检查零集合。更难想象作为一个& quot几何图形& quot，但实际上更容易处理，因为它是有限的。

其实我们可以确定的是{(0，0)，(1，1)，(2，1)}是仅有的三个点。我遗漏了一些重要的细节，但这种思维方式足以抓住要点。

函数（ZetaFunctions）

假设我们从一个有P个元素的有限域开始，比如F，a & quot曲线& quotc(为简单起见，多项式的零集合)。

我们可以计算c，N(1)的点数。

然后我们可以在一个有p ^ 2个元素的场中看同一个方程，称之为N(2)等等。

所以n是一个函数。N(k)是一个有p ^ k个元素的域中C的点数。

接下来的部分看起来很复杂，但会大大简化。

考虑到功能：

c的局部函数定义为：

这

可能看起来很疯狂，但我们可以通过一个例子很容易地看出，定义的构造是为了消去和简化。

如果我们从多项式p（x）=x开始，那么任意域上x=0的唯一解就是x=0。

无论我们检查多少个域，都只有一个点。因此，对于所有k,N（k）=1。

让我们代入：

因此：

韦尔猜想是由安德烈·韦尔（AndréWeil）在1949年提出的关于任意X（不只是曲线或点，也包括高维空间）的Z（X，t）猜想。从那时起，他们一直是代数和算术几何研究的主要驱动力之一。

数学家们用了几十年的时间证明了它们，并且发现了许多现代的替代证明。关键的结论是，韦尔猜想之一就是这些函数的“黎曼猜想”。韦尔自己证明了有限域上曲线的黎曼猜想。

通过适当的几何机制，证明是相对容易的。

只有一个元素的域

我们终于准备好讨论只有一个元素的域了。

记住，它不存在。

但我们的想法是建立一些东西让我们可以做一种广义几何。思考一下ℤ，它的性质是“减少modp”，对于任何素数p都会给我们一个有p个元素的域（这是我们之前定义有p个元素的域的方式）。

这个事实可以用几何的方法来重新表述。有一个几何空间，X=Spec（ℤ），所以，对于每个质数p，减少modp得到有p个元素的域上的1个点，Fₚ。

我们已经算出了一个点的局部ζ函数，它是1/(1-t)。

但是我们通过减少modp来得到一个局部的ζ函数。当你将这些结合在一起得到X的“全局”ζ函数时，正确的方法是相乘并追踪素数（t→p⁻ˢ），我们可以得到：

黎曼ζ函数的乘积形式。这就是我们一直在找的东西。

如果有一个叫做F_un的东西,它的作用就像一个有限域，我们可以把X=Spec（ℤ）当做它上面的一条曲线然后，用韦尔定理来证明黎曼猜想。

数学家们在这方面已经做了一些非常了不起的工作。也许有一天我们会有一个证明黎曼猜想的Fun。