收敛序列必有界，收敛序列{xn}，当n，xnA，为固定极限值和常数时，必然有界。但这种有界并不意味着既有上界又有下界。只有上界，或者只有下界，或者上下界都可以称为有界。有界序列不一定收敛，最简单的例子是xn=sin(n)，或者xn=(-1) n，都是有界序列，但是当n时，xn的极限不存在，所以不收敛。

收敛数列

设数列{Xn}，若有常数a，对任意给定的正数q(不管多小)，总有正整数n，这样当nN时，总有|Xn-a|。

数列极限定义

设{Xn}是一个数列。若有实数A，对于 0，n n，使得当n > n时，有| xn-a | <，则称级数{Xn}收敛于A，实数A称为级数{Xn}的极限。如果实数A不存在，称为级数发散。

有了数列极限的定义，我们很容易得到下面的3个结论

(1)收敛序列的极限必须是唯一的。

(2)、收敛序列一定有界。

设序列{Xn}和{Yn}是两个收敛序列。若{Xn}收敛于a，{Yn}收敛于b，a n时，有xn

上面的结论很容易证明，下面我们简单证明一下。

证明

假设数列{Xn}有两个极限，分别是a和b，设a n时，有| xn-a | <=(b-a)/2。我们还可以得到，n' n，当n > n '时，有| xn-b | <=(b-a)/2，当我们取n > max {n，N'}时，我们得到以上所有，所以我们可以分别得到xn <(b a)/2和xn >。

证明

设数列{Xn}收敛于a，取=1，那么根据数列极限的定义，有n n，当n > n时，有| xn-a | <1，得到a-1

证明

取=(b-a)/2，我们根据数列极限的定义分别得到n' n。当n > n '时，有| xn-a | <=(b-a)/2。我们还可以得到，n'' n，当n > n ' '时，有| yn-b | <=(b-a)/2，当我们取N=max{N 'n'}时，我们得到以上都成立，所以我们得到当n > n时，有xn。

由上述结论还可以推导出常用的性质，分别将中的数列{Xn}和{Yn}视为常数数列0。例如，当数列{Xn}被视为常数数列0时，我们得到如果{Yn}收敛于b且0 n时，将有yn > 0。