引论导数是数学中非常重要的一部分。在高中，NMET的数学题往往与导数有关，基本初等函数的求导是求解复杂初等函数导数的基石。我们知道，对于一个初等函数，它的导数定义为：

我们当时用这个定义来表示下列各项的导数：

而当我们学习其他基本初等函数(指幂函数和三角函数)的导数时，数学课本上突然省略了这个过程，而是直接给出结论。我们似乎记住了这些结论，却没有真正理解它们的内涵。

这些衍生规则都是编出来的吗？编的？没有依赖于导数的定义？

当然不是！本文的目的就是补上这个环节。

函数的四则运算和复合函数的求导法则假设，作为函数，作为函数，当它变化时，和分别变化，和。然后：

(1)加减法求导定律是：

(向左滑动查看完整公式，下同)

(2)乘法求导法则是：

(3)除法定律的推导是：

(4)复合函数的求导法则是：

呃，等等.你为什么谈论这个？基本初等函数的求导法则不用讲了吗？

哈哈，有两个原因：

这些规则只使用导数的定义，不使用任何函数的导数结果。

后面会看到，所有基本初等函数的求导都是由这些规则加上少数函数的求导结果形成的。这几个函数的求导完全可以借助导数的定义来进行。

因此，我们的最终目的是向您展示，& quot从导数的定义出发，所有基本初等函数的导数都是从导数定义,推导出来的，不用背！」

三角函数的求导：用几何谈& quot小角度近似& quot，yyds认为，无论是搞过高中物理竞赛的小伙伴，还是大学学过高等数学的小伙伴，都一定非常熟悉下面这个近似：当时，

这是为什么呢？我们仍然在求导，所以我们不能使用任何导数或泰勒展开式。那怎么解释这种关系？

不要紧，代数不够，几何够了！我们要用华先生提倡的数形结合！看下图：

图中，弧AB是以O为圆心、半径的弧。设O点的角度大小为(弧系)，那么AB的弧长显然为。b是OA的垂直线BH，很明显BH是长的。A点是OA的垂线(即圆弧的切线)，OB所在的直线在c点，显然AC的长度为。同时AB的弧度越来越小，圆弧AB，线段BH，线段AC越来越接近重合，那么它们的长度应该越来越& quot一致& quot。用更专业的术语来说，应该写成：

这两个系统被称为小角度近似。在本文中，使用前一种关系就足够了。

从正弦函数到所有三角函数，我们先试着解正弦函数的导数：

因此：

借助正弦和余弦的导数，正切函数的导数是：

至此，三角函数(高中)的推导完成。

指幂函数的求导：从常数e到导数定律常数，神圣在哪里？我们在高中数学开始的时候学过，这是一个非常重要的科学常数。它的值是，是一个无理数。我们在高中的时候，并没有很深入的解释这个常数，只是简单的说：

其实常数真的是这样定义的吗？

我们知道，极限的概念是高等数学的基础。我们刚开始学高等数学的时候，一定接触过以下几个重要系列：

学过高等数学的小伙伴一定知道这个级数是有极限的。还记得我们是怎么证明的吗？

我们来复习一下：首先，根据二项式定理：

所以：

因为它明显地随着的增大而增大，所以它随着任何给定值而增大。不仅如此，随着的增加，参与添加的条目也越来越多。所以是单调递增的。

很明显。

可以看出，数列是单调递增的，有一个上界，所以它的极限一定存在。d呢

这里我用三个条纹代替等号来强调这就是定义。

那么，我们在高中看到的阶乘表达式呢？是否等同于上述定义？

让我们从下面的公式开始：

首先，因此

当然，在使用时很容易证明它是一个有限值。另一方面，对于任何给定的，当它足够大时，

而是一个有限的值，所以：

因此，

所以这两个定义是等价的。

看着它！刚才我们已经证明了系列是忠实粉丝。那么，还有什么可以交朋友的呢？有很多。以下是对以下有用的几个：

(1)设定，然后

(2)

(3)设，且。则

（4）设。当时，设满足。那么，根据

用类似的方法可以证明：设，则