[拼音]:诗书

【外语】:实数

包括有理数(零和正负整数，正负分数)和无理数。有理数的四种运算和顺序在实践中已经被理解了很长时间，但直到19世纪末和20世纪初，它们的公理化描述才完成(见数字系统)。用现代语言来描述它，我们可以说有理数形成有序阿基米德域Q。

首先，Q是一个域中可以执行四种运算(除0为除数外)的域，对于这些运算，下列运算律成立(， b，)等，均表示任意有理数):

(1)加法交换律+b=b)+;

(2)加法结合律+b+)=(+b)+);

(3)存在一个数字0，使0+=+0=;

(4)对于任意有理数，存在加性逆，记为-，使+(-)=(-)+=0;

(5)乘法b)=b， (b))=(b))的交换结合律；

(6)分配律(b+)=b+;

(7)存在乘单位元10，使得有理数1 1=1=。

(8)对于不为0的有理数，存在一个乘法逆-1，使-1=-1=1。

其次，Q是有序域，即存在一个有序关系，使得对于所有有理数和b)， b)和b至少有一个为真，并且对于所有， b)，)Q:

(1) b)，由b可得b);

(2)由b)， b可得=b);

(3)由b可得+)b)+);

(4)由0， 0b，可得0b。

此外，对于每个alphaQ，将存在若干个| alpha |(0或更高)跨度，使得任何alpha敏锐度为0，而不是=alpha;对于任何alpha 0， | |=alpha的跨度，而不是称为alpha的绝对值。

同样，Q是阿基米德场，即对于有理数和b， 0,b0，必须找到一个自然数n，使得Nb-。因此，不存在最大正有理数；因为对于任意正有理数， b=1，必然存在一个自然数n使得n=n1。不存在最小正有理数，因为对于任何0，一定存在一个自然数n，即。

尽管有理数领域具有如此丰富的性质，但它不足以描述所有的几何量。也就是说，如果以其长度为单位选择一条线段，则并非所有的线段都是有理的。古希腊人发现，正方形的对角线与边长之比是不合理的。所以直线上的点集合不能一个一个地对应于Q。这使解析几何的基础受到质疑，因而也使整个数学分析的基础受到质疑。这种情况可以用下面的语句之一来描述。

(1)有理数的上(下)界集合不一定有一个有理数作为上(下)定界。A奥Q上是这样的一个数：它是A的上界或者A的一切都在几个以内，但是取和不会上界，那至少一元A， ， 。

(2)有理数的单调有界序列不一定受某个有理数的限制。

(3)柯西序列的有理数(即nQ的序列，对于任意有理数为0，存在n=n (epsilon)，此时m, nN, n | | m不收敛于有理数。

这些情况可以概括为Q不是一个连续体。这给对数系统的应用带来了极大的不便。为了克服这一困难，有必要对有理数体系Q系统地补充新数，即无理数，使扩展后的新数体系，即实数体系R不存在上述问题，但仍然是有序阿基米德域。这项工作在19世纪中期以几种不同的方式完成。

一种方法是由J.W.R. Dedekin提出的。

戴德金在他的论文《连续性与无理数》(1872)中生动地描述了当时微积分所面临的困难，并指出走出困境的出路在于几何的算术化。他的出发点是q的阶数。例如，作为一个数，它的特征是大于所有非正有理数和所有适合于22的正有理数，小于所有适合于22的正有理数。事实上，每个有理数alpha都有一个类似的性质，将Q划分为两个非空子集：Q1称为下类，Q2称为上类。我们可以把作为Q1中最大的元素，或者把作为q2中最小的元素。由此得出有理数分区为Q1 | Q2，它是由生成的。

Dedekind概括了这一点。他看了有理数集Q的所有划分，Q1 | Q2: Q1和Q2不空，Q=Q1Q2和Q1研究Q2==，并且Q1中的所有元小于Q2中的所有元。有两种情况可能发生。

Q1(1)有最大的元Q2是最小的(如果没有最大的元Q1, Q2有最小的元限制元移动到Q1)，那么就说Q1 | Q2定义了alpha。反过来，如上所述，每个有理数也产生这种类型的有理数划分。因此，若这类有理数的划分集为，则对应于Q一一，其中的元素“是”有理数。

(2) Q1中不存在最大元素，Q2中不存在最小元素。将这些分区的集合称为I，并将I中的元定义称为无理数。

它不会发生Q1有最大的和Q2有最小的b。因为如果=b)，与Q1研究Q2==矛盾，如果 b)，将是

，

因此

Q1Q2Q。

实数集是所有有理数的划分集。

四种运算也可以定义在这样定义的实数集合中。例如，对于两个实数(即有理数集合的两个分区)，在这里定义，它也是有理数集合的一个分区，因此也是实数。同样，如果Q1湮灭Q并定义为，则可以证明R拟合上述Q是有序场的性质。它也是阿基米德定义域的一个性质R适合q，所以R也是一个有序的阿基米德域。

实数系是有理数系的延伸，或者说实数系包含有理数系，还包含其他元素，如。准确地说，R包含一个真子集和Q同构(I不是空的，正因为如此，而且Q1 | Q2是实数，但不在中，是无理数，是无理数)，所以R是Q的展开式。R还具有以下两个性质：

(1)它在R中是稠密的，稠密是指对于， R， ，必然存在一个xx。

(2) R中的任何上(下)界集合必须有上(下)定界。但它不一定是理性界。

实数系统是唯一的，即如果Q有两个扩展，R和R1都是有序阿基米德域，并且都符合、，则R和R1是同构的，即本质相同。

g (F.P.)Cantor和H.C.R. Merley从完备性的角度提出了另一种定义实数的方法。例如，可以用有理数序列进行近似。因为这个数列是一个柯西有理数数列。所以我想知道是否可以用柯西有理数序列来定义实数。但它也可以用另一个柯西有理数序列来定义。因此，必须在有理数柯西序列集合中引入等价关系，称有理数柯西序列为等价，记为~。每一个柯西有理数序列的等价类都被定义为实数。这样定义的实数集合称为R1。Q中的所有都可以用一个特殊的柯西序列(常值序列)来逼近。包含常数序列的等价类(每个等价类只能包含一个常数序列)称为有理数，其集合记为1;不包含常数值序列的等价类称为无理数，其集合记为I1。很明显。

R1也可以定义四种操作和顺序关系。它是像R一样的有序阿基米德场，它是合适的

(1) R1有一个与Q同构的致密固有子集1;

(2) R1上的柯西序列在R1上都有极限。

R1在同构意义上也是唯一的。并且由于性质(2)与R的性质(2)是等价的，即相互隐含，所以R与R1也是同构的，即两种方法得到的结果是相同的。

实数系统能否进一步推广的问题是一个自然问题。

首先，通过引入方程x2+1=0的根的理想元素，可以将其推广到一个复杂系统。但是顺序，即Q是一个有序域(参见复数)的性质，必须被抛弃。

其次，因为R是阿基米德场，所以和Q一样，R中没有最大正数(即正无穷大)和最小正数(即正无穷小)，但可以引入正无穷小这样的理想元素来得到一个非标准模型，但这会破坏阿基米德场的性质(参见非标准分析)。

至于再除以R或者再做柯西数列，你不会得到一个新的数。R中的元素和直线上的点可以一一对应。从这个意义上说，R是完备的，因此称为连续统。

R和Q的性质有很大的不同。Q中有无限多个元素，但Q是一个可数无限集合。我们可以通过将Q中的元素写成简化分数p/Q, q0来排列下表中的正有理。然后将它们按上述箭头顺序排列(删除重复的行)，并将所有正有理数写成一个序列。所以正有理数的集合是可数的；整个有理数系统Q也是可数的。但是我们可以证明R是不可数的。因此，在数学历史上第一次遇到了各种无穷大，导致了G.康托尔的基数理论。

正如已经说过的，Dedekin发展无理数理论是为了克服微积分中存在的连续性概念的巨大困难。实数理论完成后，R的连续性具有丰富的内容。下面的结果可以得到完全严格的证明。

(1)实数的上(下)有界集合，必须有一个实数为其上(下)行列式，即上下行列式定理。

(2)每一个实数柯西序列都有一个唯一的实数极限，这就是柯西收敛原理。

(3)所有单调有界实数序列都有实极限。

(4)取一组实数区间，即实数的一系列闭区间，使得对于所有n，

，

b)n-n趋于0，那么在所有[n, bn]中必然存在唯一的实数

，

这就是区间集原理。

这些定理是等价的。还有两个等价定理：

(5)在无限有界闭集A的码中，可以选择码A的一个序列，使得jj(ij)存在于A中，即Bolchano-Weerstrath定理(R的列紧性)。

(6)设A码为有界闭集，在任意A上选取一个开区间I“”，则选取有限多个I1, I2，…，在覆盖A中，即Heine - Borel定理或有限覆盖定理(R的紧性)。

这些性质都反映了R的连续性。R具有丰富的连续性。自20世纪以来，对连续性的研究已成为拓扑学的一大分支学科。从这个角度来看，R是数学历史上第一个被很好理解的拓扑空间，而上述定理是基于更原始的拓扑空间概念。

r.d.e dekind, Stetigkeit and Irrationale zahlen, Brunswick, 1872。D ' edkind，是辛德和索伦死于扎伦吗？不伦瑞克，1888. e。兰德，《分析之基础》，切尔西，纽约，1965年。《斯皮瓦克》，张玉贤、颜义正译：《微积分》，第二卷，人民教育出版社，北京，1981年。(M. Semvak，微积分，本杰明，纽约，1967)