[拼音]:jiaohuanqun

从交换群

其运算符合交换律的群，或阿贝尔群。阿贝尔群通常被称为阿贝尔群，以纪念挪威数学家N.H.阿贝尔，他在讨论高阶方程时使用了有限阿贝尔群。阿贝尔群是一般群论的一个独特分支。在拓扑学和代数中，经常构造一些阿贝尔群作为讨论问题的工具，如拓扑学中的基本群、同调群、代数中的Braower群等。交换群论与代数拓扑、模论、同调代数、环论等密切相关。

阿贝尔群作为群的特殊类型，也有元素顺序、群顺序、子群、商群以及相应结果等概念(参见群)。在阿贝尔群中，子群和正规子群是同一个概念。习惯上把阿贝尔群的运算写成加法，用0表示群的单位元素，用-表示元素的逆元素，用n表示的n次幂，把阿贝尔群的正积改为正和。

有限非阿贝尔群具有复杂的结构，直到现在还没有完全理解。但是有限阿贝尔群的结构非常简单。1878年，F.G.弗罗贝尼乌斯等人证明了以下基本定理：任何有限阿贝尔群G可以表示成有限数量的循环群的直和的秩序是一个素数的力量，也就是说，k是一个自然数，胃肠道是一个循环群和是一个质数，镍是一个自然数，和k和数量完全取决于组G .这个定理是一个结构性定理具有典型意义。该定理可用于求解有限阿贝尔群的子群、商群和自同态。因此，阿贝尔群论的主体是研究无穷群。

具有有限个生成器的无限阿贝尔群G可以表示为有限个循环群的直接和，其中Gi是一个循环群，pi是一个素数，ni是一个自然数。Fj是无限循环群；它不是- k, s而且它是唯一由群g决定的，这是有限阿贝尔群基本定理的完全推广。

这两个定理是一系列研究的起点，这些研究启发人们考虑哪些其他类的群(更一般地说，模块)可以表示为循环群(循环模块)的直接和，这些类的群具有什么性质，等等。

n个(有限或无限)无限循环群的直接和G，称为自由阿贝尔群或自由群，其个数(基数)n是群的不变量，称为自由群G的秩。自由群在阿贝尔群论中与一般群论中的非阿贝尔自由群占有相同的位置，即任何群A都可以看作是一个自由群的同态像。因此，取定群A的一个生成集及其对应的符号集，以x为生成元，得到无限循环群x，然后对它们作直接和，得到自由群G=ji x。G的元素被唯一地写成有限整数。因此，它可以被映射

我们很容易知道是自由群G到A的同态映射，也可以证明自由群的非零子群仍然是自由群。

几个环群的直和G具有一些类似于自由群的性质。例如，这样一个G的直和的子群也是一些循环群的直和；当G表示为无限循环群与阶数为素数幂的循环群的直接和时，这种表法在同构意义上是唯一的，即无限循环群的个数与阶数为素数幂的循环群的个数是由G自身唯一决定的。

每一个一元是一个有限阶(无限阶)的阿贝尔群，称为周期群(非扭转群)。同时包含有限阶元素和无限阶元素的群称为混合群。每一元的阶是一个素数p的幂的群称为拟素数群或p -拟素数群。

师群是一个重要的群类，已被彻底地刻画。通过划分G，我们指的是方程nx=对任意自然数n和任意元素都有解的群G。证明关于数的所有有理数相加形成一个扭除群并不困难；对于固定素数p和所有自然数n，所有关于复数的pn阶单位根的乘积成为p拟素数群p，也是除法群，记为p群。任何部门群的直和一些rational +组和组p型(有些' p)。r .贝尔指出，该部门组织具有以下属性：如果G组包含一个部门群h(也就是说，h组)本身是一个部门，那么必须直接h和G,也就是说，有一个小组K, G=h x K .相反，h组以下属性必须组织一个部门：如果h是G的子群，则h一定是G的直接和项。群除是模论中重要的事件模概念的原型。没有除子群的群称为约简群。任意阿贝尔群的研究可以归结为约简群的研究。

阿贝尔群G的所有有限阶元可构成一个子群h，称为G的周期子群，而商群G/h是一个扭转群。周期群G的所有元素的G(p)它的阶是一个素数p的幂它是G的一个子群并且有(p取所有素数)因此，周期群的研究可以归结为拟素群的研究。设G为p预素群，并指定自然数n。设一个非零元素G，如果有n使得pnG，而G, n称为的高度。否则，我们说的高度是无穷大。因此，的高度是使方程pmx=在g中有解的最大自然数m(或)，高度是交换群论中最重要的概念之一。除法群的每一个元素的高度都是无穷大，而循环群的直接和没有一个元素的高度是无穷大。

重要的Pruffield定理给出了一些可以表示为循环群的直接和的群的类别：

(1)若G是p素群，且存在n个使pnG=，则G为该循环群的直和。

(2)如果G是一个可数(即| G |是可数基数)p主群，但它不包含高的上元素，则G是一个循环群，并且是直的。

具有高元素的群不能表示为循环群的直接和，所以我们需要寻找另一种表征方法。厄尔姆在20世纪30年代做出了深远的贡献。他给p拟素群G引入了一个定义在序数集合上的函数G()(后来称为Erm不变量)，并给出了重要的Erm定理：两个可组成的p拟素群G和h是同构的当且仅当它们具有相同的Erm不变量，即对所有序数都存在G()=like h ()。近年来，这个定理在I. Kaplansky和E. Walker的手中得到了进一步的推广。例如，对应的结论对于一类所谓的完全投影群是成立的。

对于扭转自由群，秩是最基本的概念，类似于向量空间的维数。如果对于有限个数的G群1， 2…n有整数k1 k2，它们不都是零。Kn，我们设为1 2…n是相关的，否则就无关了。S是独立的如果S的一个有限子集，G的一个子集，是独立的。群G的所有极大独立子集具有相同的基数，称为G的秩。秩1和秩2的扭转群的结构基本清楚。例如，秩为1的扭转群恰好是有理数加法群的所有子群。本文还研究了其他一些扭转群，如完全分解扭转群及其纯子群。简而言之，对扭转群的研究远不如对周期群的研究透彻。

混合G组的扩展可以被视为周期性A组通过扭转b组第一个研究通常关注以下问题：在什么条件下这是扩张G劈得开的，也就是说，G=霁br贝尔给出了结果：如果混合G组的周期子群的直和一些部门组织和一些循环组订单小于固定n,则可分裂的G。近年来，I.卡普兰斯基(I. Kaplansky)、R.B. Warfield等人找到了将混合群体作为一个整体来讨论的方法，从而开辟了新天地。

任意阿贝尔群都可以看作是整数环上的模，对于整数环，模运算ng=g+…加上g (n)。作为特殊的模，阿贝尔群为一般模理论中的大量概念和定理提供了原型，例如张量积。一个阿贝尔群G的自同态对应于所有的End(G)关于自同态的乘法和加法成一个环，并且阿贝尔群G自然可以看作是End(G)的任意子上的模。阿贝尔群、模理论和环理论三者之间有着密切的联系。

I.aplansky，无限阿贝尔群，修订版，密歇根大学出版社，1969年。L.fochs，无限阿贝尔群，Vol.1 ~ 2，学术出版社，纽约，1970,1973。