PI的历史 圆的周长与直径之比是一个常数，称为圆周率。通常用希腊字母“PI”来表示。1706年，英国人琼斯首先创造了PI来表示圆周率。他的表示法没有立即被采纳，但后来被欧拉推广并逐渐普及。现在圆周率已经成为圆周率的一个特殊符号，对的研究，在某种程度上反映了这个地区或时代的数学水平，它的历史是有趣的。 实际上，=3在古代的巴比伦、印度和中国使用了很长时间。到公元前2世纪，中国有关于第三条路的记载，时间为公元755年至公元79000年。东汉的数学家将其数值改为10的平方根(约3.16)。真正把圆周率的计算建立在科学的基础上，首先要归功于阿基米德。他专门写了一篇论文《周髀算经》，用几何方法证明了圆周率与圆直径的比值小于3 1/7，大于3 1/71。这是科学界第一次用上界和下界来确定近似值。第一个计算的正确方法是魏晋时期的刘徽。公元263年，他发明了用圆内正多边形的面积近似圆面积的方法，并计算出圆周率为3.14。我们称这种方法为“切圆”。直到1200年后，西方才发现了类似的方法。为了纪念刘辉的贡献，3.14被称为回率。 公元460年，南朝祖冲之用刘徽的切圆法计算出圆周率为3.1415926，即小数点后的第七个数字，这是当时世界上第一个有七个小数点的圆周率。祖冲之还发现了22/7和113/355两个分数，用分数代替圆周率，大大简化了计算，比西方早了一千多年。 祖冲之的圆周率保持了一千多年的世界纪录。它最终在1596年被荷兰数学家鲁道夫打破。他把圆周率推到小数点后第15位，最后推到35位。为了纪念他的这一成就，人们在他死后的1610年的墓碑上，刻上：3.14159265358979323846264338327950288这个数字，从此也称它为“安尼特鲁道夫号码”。 从那时起，西方数学家的工作取得了迅速的进展。1948年1月，弗格森和雷施一起计算圆周率的小数点后808位。随着计算机的出现，人工计算圆周率的时代结束了。在20世纪50年代，计算机将圆周率计算到小数点后10万。在20世纪70年代，他们再次打破了这一纪录，将圆周率计算到小数点后150万。到20世纪90年代初，使用新方法，该值已达到4.8亿位数。圆周率的计算已经有几千年的历史了，它的每一次重大进步都伴随着技术和算法的创新。 PI的计算过程 圆周率是一个非常有名的数字。自从有文字记载以来，这个数字就吸引了外行人和学者的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最初是为了解决计算圆的问题而提出的。仅从这一点出发，找到尽可能精确的近似值是一个非常紧迫的问题。这也是事实。几千年来，作为数学家的奋斗目标，国内外一代又一代数学家为此贡献了自己的智慧和劳动。回顾历史，人类对圆周率的认识反映了数学和计算技术发展的一个侧面。对圆周率的研究在某种程度上反映了这个地区或时代的数学水平。德国数学史学家康托尔说：“历史上一个国家计算出的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”直到19世纪初，找到圆周率的值可以说是数学中的头号问题。为了找到圆周率的价值，人类走过了漫长而曲折的道路，其历史是有趣的。我们可以将计算之旅分为几个阶段。 实验时间 计算的第一步是用实验估计它。这种对圆周率的估计大多是基于观察或实验，基于对圆的周长和直径的实际测量。在古代，=3这个数字实际上已经使用了很长时间。最早的书面记录是公元7555 -79000年的基督教章节，该章节将圆周率定为3。这篇文章中描述的事件发生在公元前950年左右。其他国家，如巴比伦、印度和中国，长期以来一直使用这个粗糙而简单的数字。在刘辉来中国之前，“圆径一周三”已经广为流传。在中国第一部分《圆的度量》中，有一个记录圈“周三路径一”这个结论。在我国，木工师傅有两个自古流传下来的公式：叫做：“星期三井一，方五斜气”，意思是圆的直径为1，周长约为3，方的边长为5，对角线长度约为7。这反映了对无理数和2的早期粗略估计。在东汉时期，官方规定应为3作为计算面积的标准。后人称其为“古率”。 早期的人们还使用其他原始的方法。例如，古埃及、古希腊采用谷物放在圆形上，用谷物的数量与正方形对比的方法来求得数值。或使用均匀的重量板锯成一个圆形和方形的平衡值.这样，你就能得到一个更好的值。例如，古埃及人使用4(8/9)2=3.1605约4000年。在公元前6世纪的印度，=10=3.162。东汉、西汉时期，新王莽令刘信制造了数量容器，吕家制造了数量石斛。刘鑫在制作标准容器的过程中使用了PI值。为此，也许是通过做实验，他提出了一些不一致的圆周率近似值。现在，根据铭文，计算值分别为3.1547、3.1992、3.1498和3.2031，比古代直径的第一周率有所提高。这种人类勘探的结果，当主要估计圆形领域的面积时，对生产没有太大影响，但它不适合制造器具或其他计算。 几何时期 通过直觉或物理测量计算的实验方法给出相当粗略的结果。 真正把圆周率的计算建立在科学的基础上，首先要归功于阿基米德。他是第一个科学地研究常数的人，也是第一个提出用数学方法而不是测量方法使达到任意精度的人。于是，PI计算的第二阶段开始了。 圆的周长比内正四边形大，但比外切正四边形小，所以22 < <4。 当然，这是一个糟糕的例子。据说阿基米德用96边形计算出了他的距离。 阿基米德对圆周率更精确近似的方法体现在他的一篇论文中，07555 -79000。在这本书中，阿基米德是第一个使用和下界来确定的近似值。他从几何上证明了“圆的周长与直径之比小于3+(1/7)，大于3+(10/71)”，并给出了误差估计。重要的是，从理论上讲，这种方法应该提供更准确的PI值。大约在公元150年，希腊天文学家托勒密计算出=3.1416，这是继阿基米德之后的一大进步。 在中国，是数学家刘辉第一个得到更精确的圆周率。公元263年左右，刘徽提出了著名的切圆法，得到=3.14，俗称“徽率”，并指出这不是近似值。虽然他比阿基米德更晚提出圆切割的方法，但他的方法有更美丽的地方。切圆法只用内正多边形确定圆周率的上界和下界，比阿基米德用内正多边形和外正切正多边形确定圆周率的上界和下界简单得多。此外，有人认为刘徽在圆切割中提供了一种非常出色的精加工方法，他通过切割192条边的几个粗略近似值的简单加权平均，得到了四个有效数字的圆周率(=3927/1250=3.1416)。而这个结果，正如刘辉自己指出的，如果是切圆计算的话，需要切到3072条边。这种整理方法的效果非常好。这种奇妙的精加工技术是圆切割的最佳部分之一，不幸的是，由于缺乏理解，它被忽视了很长一段时间。 恐怕你对祖冲之的贡献更熟悉。对此，《07555 -79000》记载如下：宋末，南徐州从事祖冲之的比较公开的秘密方法。一个圆的直径为1亿米，圆周的周长为三丈一尺四寸一分五厘米二秒七，圆周的周长为三丈一尺四寸一分五厘米二秒六，两个极限之间的正数为余数。密度：圆直径113，周长355。圈速，直径7，周二12 这一记录指出了祖冲之对PI的两大贡献。一个是求PI 3.1415926 < <3.1415927 二是求得的两个近似分数：约简率为22/7;密度是355/113。 他可靠的8位圆周率不仅是当时最精确的圆周率，而且保持了900多年的世界纪录。以至于数学历史学家建议将这一结果命名为“祖先率”。 这个结果是如何实现的？追根溯源，正是在继承和发展了刘辉的圆剪技艺的基础上，祖冲之才得以取得这一非凡的成就。因此，我们在庆祝祖冲之的成就时，不要忘记，他的成就是站在伟大的数学家刘辉的肩膀上取得的。据估计，要简单地通过计算圆内多边形的长度来得到结果，需要计算圆内确切的12,288条边。祖有没有用其他聪明的方法来简化计算？这已经不为人知了，因为记录他作品的书0755-79,000早就不见了。这是中国数学发展史上非常令人遗憾的一件事。 中国发行祖冲之纪念邮票 祖冲之的这一研究成果享誉世界：巴黎发现宫科学博物馆的墙上介绍着祖冲之获得的PI，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌着祖冲之的大理石雕像，月球上有一个以祖冲之命名的陨石坑…… 通常很少有人注意到祖冲之对圆周率的第二个贡献，他选择了两个简单的分数来近似圆周率，尤其是密度。然而，事实上，后者在数学上更为重要。 密度很好地近似于PI，但形式简单而优雅，只使用数字1、3和5。数学史家杨钟柱教授证明，分母小于16604的分数比密度比更接近圆周率。在国外，西方是在祖充死后一千多年才达到这一结果的。 可见，密度的提出是一件很简单的事情。人们很自然地要问他是怎样得到这个结果的。他是如何把圆周率从一个近似的小数转换成近似的分数的？这个问题一直为数学史学家所关注。由于文献丢失，祖冲之的方法无从考证。后人对此进行了推测。 让我们先看看国外的历史著作，希望能提供一些信息。 1573年，一个叫奥托的德国人得出了这个结论。他用类似的加法方法将阿基米德的结果22/7与托勒密的结果377/120“合成”:(377-22)/(120-7)=355/113。 1585年，荷兰人安东尼兹用阿基米德的方法得到：333/106 < <377/120，用这两个作为的母近似值，将分子和分母各取平均值，通过加法得到结果：3(15+17)/(106+120)=355/113。 虽然二者都获得了祖冲的密度，但采用方法进行耦合，毫无道理。 在17世纪的日本，关晓和的重要著作《圣经》卷4》为寻找圆周率创造了归零法，其实质是用加法法求近似分数。他以3和4为母体近似值，连续加6次得到祖先脉冲的减少率，再加112次得到密度率。他的学生对这种笨拙的循序渐进的方法进行了改进，提出了将相邻的不足近似值和过剩近似值相加到最接近的值的方法(实际上就是我们前面提到的加法法)。从3和4开始，用6倍加近似值的方法，第7次出现25/8，最近的和它的近邻加22/7，得到47/15，以此类推。只需要加上23倍就能得到密度。 钱宗聪于1905 - 1979年(1931)提出，祖冲之采用了我们前面提到的何承天首创的“调日法”或加权加法。他设想了祖冲密度比的计算过程：以慧比157/50和近似值22/7为母近似值，计算加重x=9，则(157 + 22x9,9)/(50+79)=355/113，即可得到密度比。钱老师说：“崇于承天，以其术使密率，亦意于耳。” 另一个理论是使用连分式。 由于查找两个自然数的最大公约数的方法早在《周髀算经》就很流行，因此使用此工具查找近似分数应该是相对自然的。因此，认为祖冲之可能在得到两个丰度数后，利用该工具将3.14159265表示为连分数，得到其渐近分数：3,22/7,333 /106,355/115,102573/32650… 最后，我们取精度较高但分子分母较小的355/113作为圆周率的近似值。关于上述求PI的渐近分数的具体方法，这里略去。您也可以使用我们前面描述的方法自己请求它。英国的李约瑟博士持这种观点。在《卷》《圆的测定》卷第19章中，他论述了祖冲之的密度：“密度的分数是一个连续分数渐近数，所以这是一个了不起的成就。” 我国回顾了国外取得的成就。 1150年，印度数学家巴斯加拉二世计算出=3927/1250=3.1416。1424年，中亚的天文学家、数学家卡西写下《隋书律历志》。他计算了一个正多边形(3228=805,306,368条边与内外切线相连)的周长，得到了圆周率。他的结果是： =3.14159265358979325 有17个准确的数字。这是祖冲之的纪录第一次在国外被打破。 16世纪法国数学家维达用阿基米德的方法计算的近似值，以6216为正边，计算精确到小数点后9位。他仍然在使用阿基米德的方法，但吠陀有一个比阿基米德更先进的工具：十进制的位置系统。17世纪初，德国人鲁道夫几乎花了一生的时间研究这个问题。他还将早期的新十进制阿基米德法结合起来，但他并不是从六边形开始，而是将边的数目加倍，他是从正方形开始，已经推导出了第262条的正多边形的边，大约有4610000000000000000条边!小数点后35位。为了纪念他的卓越成就，圆周率在德国被称为“鲁道夫的数字”。但是，要从几何上找到它的价值，需要大量的计算，以至于一个可怜的数学家在他的一生中也无法对它做出很大的改进。在鲁道夫的时代，经典方法已经把数学家们带到了很远的地方，因此有必要开辟新的领域。 17世纪出现了数学分析，其尖锐的工具使许多初等数学无法解决的问题得以解决。圆周率的计算历史由此进入了一个新的阶段。 分析阶段 在这一时期，人们开始摆脱计算多边形周长的困难，用无穷级数或无穷连续积来计算。 1593年，吠陀给出了 这个不寻常的公式是圆周率最早的解析表达式。即使在今天，我们也会惊叹于这个公式的美妙之处。它表明，可以通过一系列的加法、乘法、除法和平方根来计算，只使用数字2。 然后你有多个表达式。正如沃利斯在1650年所说： 1706年，梅钦建立了一个重要的公式，现在以他的名字命名： 在他的分析中使用级数展开，他得到了小数点后100位。 这个方法比可怜的鲁道夫花了大半辈子才找出的小数点后35位要简单得多。显然，级数法宣告了经典方法的过时。从那时起，圆周率的计算就像一场马拉松比赛，记录一个又一个： 1844年，达塞使用了这个公式： 到第200位。 自19世纪以来，出现了类似的公式，的位数迅速增加。1873年，使用一系列的梅钦方法，这个级数公式计算出圆周率到小数点后707位。他花了二十年的时间才达到这一前所未有的记录。他死后，这个数字被刻在他的墓碑上，体现了他一生的工作，以纪念他不屈不挠的意志和毅力。于是，他在墓碑上留下了他毕生事业的结晶：圆周率小数点后707位。这个惊人的结果成为接下来74年的标准。在接下来的半个世纪里，人们相信他的计算，或者即使他们相信，也没有办法检查它是否正确。以至于1937年巴黎博览会的探索大厅的天井仍然显著地刻着他的PI值。 几年后，数学家弗格森对他的计算产生了怀疑，他的假设是，在的数值中，数字出现的机会是均等的，即使它们以不规则的方式排列。当他分析谢克尔的结果时，他发现这些数字显得太不均匀了。所以这种怀疑是错误的。利用当时最先进的计算工具，他计算了一整年，从1944年5月到1945年5月。1946年，弗格森发现528这个数字错了(应该是4而不是5)。一百多谢克尔的价值被勾销了，可怜的谢克尔和他虚度的15年生命都化为泡儿了。 有人嘲笑说，在记录阿基米德和费马的数学史上，舍克尔在1873年以前就已经把圆周率计算到了小数点后707位，这一事实会用一两行文字来说明。这样，他可能会觉得他的生命没有被浪费。如果是这样的话，他得逞了。 人们对这些人在地球各个角落的不懈努力感到困惑，这可能是正常的。但嘲笑它是残忍的。人类的能力是不同的，我们不能要求每个人都成为费马、高斯的角色。但我们不能成为伟大的数学家并不意味着我们不能为社会做出有限的贡献。每个人都是他自己的人，作为一台精力充沛的计算机，他愿意把自己的大部分生命都奉献出来，毫无代价地去做，最终为世界的知识宝库增添了一砖一瓦。难道我们不应该从他的不懈努力中受到感染，得到一些启发和教育吗？ 1948年1月，弗格森和兰奇发表了PI，其中有808位小数是正确的。这是人类计算圆周率的最高记录。 计算机时代 1946年，世界上第一台计算机ENIAC制造成功，标志着人类历史进入了计算机时代。计算机的出现导致了计算机领域的一场根本革命。1949年，ENIAC根据梅钦公式，在70小时内计算到小数点后2035(或2037)位，包括准备和完成时间。随着计算机的快速发展，记录被频繁地打破。 ENIAC:一个时代的开始 1973年，有人将圆周率计算到小数点后100万，并将结果印在一本200页的书中，这本书可以说是世界上最乏味的书。1989年突破10亿大关，1995年10月突破64亿大关。1999年9月30日(《缀术》)有报道称，日本东京大学的金田康正教授获得了20615.843万位数的小数。如果把这些数字印在a4大小的复印纸上，每页20000个数字，堆叠起来就有500到600米高。最新消息：金田康正(Yasumasa Kaneda)用一台超级计算机计算出了圆周率，精确到小数点后12411亿位，打破了他两年前创造的纪录。金田和日立公司的工作人员一起，用这种新方法计算了这些新数字，这台超级计算机现在是世界上第26台最强大的超级计算机。他花了400多个小时计算出这些新数字，比1999年9月计算出的小数点后26111位增加了6倍。圆周率的小数点后一万亿位是2，前12411亿位是5。如果你一秒钟读一个数字，你需要大约4万年才能读完。 然而，现在，打破记录，无论有多少地方，都不是特别令人惊讶。事实上，圆周率的值太精确而没有用。对于现代科学技术来说，十几个圆周率数字就足够了。如果用鲁道夫的35十进制圆周率来计算太阳系圆周长，误差将小于质子直径的百万分之一。我们也可以引用美国天文学家西蒙纽卡姆的话来说明这个计算的实际价值： 小数点后十位足以使地球的周长精确到一英寸以内，而小数点后三十位足以使整个可见宇宙的周长精确到即使是最强大的显微镜也无法分辨的程度。” 那么，为什么数学家仍然像登山运动员一样，不停地向上和向下推，而不是停下来探索圆周率呢？为什么这个小数字如此吸引人？ 人类的好奇心和想要超越他人的欲望可能与此有关，但还有许多其他原因。 Pentium和PI之间的奇妙关系… 1. 它现在可以用来测试或验证超级计算机的性能，特别是计算速度和计算过程的稳定性。这对改进计算机本身是至关重要的。就在几年前，当英特尔推出奔腾处理器时，它发现它有一个小问题，这个问题是在计算圆周率时发现的。这就是为什么超高精度计算在今天仍然有意义的原因之一。 2. 计算方法和思想可以产生新的概念和思想。尽管计算机的计算速度比任何人想象的都快，但编写程序并指导计算机正确进行计算仍然取决于数学家。事实上，当我们把PI的计算历史划分为一个计算时期时，确切地说，它并不意味着计算方法的改进，而只是计算工具的飞跃。因此，如何改进计算技术，发展更好的计算公式，使公式更快收敛，更快达到更高的精度，仍然是数学家们的重要课题。在这方面，本世纪印度天才数学家拉马努金(Ramanujan)得出了一些出色的结果。他发现了一些可以快速准确地近似圆周率的公式。他的见解为更有效地近似圆周率开辟了道路。他提出了计算机现在用来计算圆周率的公式。至于这位传奇数学家的故事，我们不想在这本小书里做太多的介绍。但我希望大家清楚，PI是人类胜利的故事，而不是机器胜利的故事。 3.关于圆周率的计算还有一个问题：我们能无限地继续下去吗？答案是：不!根据尤达洛夫斯基的估计，我们最多能数到1077个数字。现在，我们离这个极限还很远很远，但它是一个极限。为了不受这个限制，需要在计算理论上有一个新的突破。我们刚才提到的计算必须从头开始，不管用什么公式，如果前一位数字错了，下一位数字就完全没有意义了。还记得谢克尔吗？他是历史上最糟糕的一课。 4. 所以，有人想知道是否有可能不从一开始，而是从一半开始计算？基本思想是找到并行算法。1996年，圆周率的并行算法公式终于找到了，但它是一个16位的公式，所以很容易得到1000亿个数字，只要16位。是否有一个十进并行计算公式仍然是未来数学中的一个大问题。 5. 作为一个无限数列，数学家们对将扩展到数亿位数字感兴趣，为人们提出的一些理论问题提供足够的数据，并发现许多迷人的特性。例如，在的十进制中，10个数字中哪些是罕见的，哪些是密集的？在圆周率的数字展开中，是否有些数字比其他数字出现得更频繁？也许它们不是完全随机的？这样的想法并非轻浮。只有头脑敏锐的人才会问这个看似简单的问题，很多人经常看到这个问题，却懒得问。 6. 数学家弗格森是第一个推测中每个数字出现的概率相等的人。正是他的猜想导致了在计算PI到Kes时的错误的发现和修正。然而，猜想并不等于现实。弗格森试图测试它，但没有成功。后人也想验证一下，却又苦于已知数太小。即使数字太少，也有理由怀疑这个猜想的有效性。例如，数字0开始的可能性很小。在前50位数字中只有一个0，它第一次出现在32位数字中。然而，随着更多数据的加入，这种现象很快就发生了变化：100位数字中有8个零；200位以内有19个零；…1000万数字中有999,440个零；…60亿位数中有599,963,005个零，几乎是1/10。 其他数字呢？结果是每一个都是1/10，有些多一点，有些少一点。有一些偏差，但都在万分之一以内。 7. 人们还想知道：PI的数字化扩张真的没有规律吗？我们希望能够通过研究数字的统计分布来寻找十进制展开中任何可能的模型，如果这样的模型存在的话，到目前为止还没有发现。我们还想知道圆周率在膨胀时是否有无限的变化？或者有任何数字的排列吗？著名数学家希尔伯特在一本未出版的笔记本中问道，的十步中是否有十个九。在我们现在拥有的60亿个数字中，有：6个连续的9。希尔伯特问题的答案似乎是肯定的，似乎任何数字的排列都应该发生，只是时间问题。但要提供确凿的证据，还需要更多的圆周率数字计算。 8. 在这方面，也有以下统计结果：60亿数字中出现了8个8;有9个7;十6;从小数点后710150位到小数点后3204765位，连续出现7个3。从小数点后52638位开始，连续出现8个数字14142135，正好是前8位数字；从小数点后2747956位开始，出现了有趣的序列876543210。可惜，前面少了一个9;一个更有趣的序列123456789也出现了。 如果你继续下去，看起来各种数字列的组合都可能出现。 拾取：计算PI的替代方法 在1777年出版的《括要算法》一书中，布冯提出了一种计算圆周率的实验方法。这个实验的操作很简单：取一根等粗、等长d的细针，在一张白纸上画一组间距为l的平行线(为方便起见，l=d/2)，然后随意地将针反复地落在纸上。这样做很多次，数一数针与任何平行线相交的次数，你就会得到的近似值。因为布丰自己证明了针与任何平行线相交的概率是p=2l/d。利用该公式，可以用概率方法求得PI的近似值。在一次实验中，他选择l=d/2，投针2212次，其中针与平行线相交704次，得到的近似值2212/704=3.142。当实验中投掷次数较大时，可以得到更精确的PI值。 1850年，一个名叫沃尔夫的人在扔了5000多次后，将圆周率近似为3.1596。目前声称这种方法效果最好的是意大利人拉兹里尼。1901年，他重复了这个实验，做了3408根针，并得到了圆周率为3.1415929的近近值，这个结果如此精确，以至于许多人怀疑他实验的真实性。例如，犹他州奥格登国立韦伯大学的L. Badger就对此提出了强烈质疑。 然而，布冯实验的重要性并不是让PI比其他方法更精确。布冯大头针问题的重要性在于，它是用几何形式表达概率问题的第一个例子。这种计算的方法不仅因为它的新奇和奇妙而令人惊叹，而且它开创了用随机数来处理确定性数学问题的先机，是用机会法来解决确定性计算的先驱。 在计算PI的概率方法中也提到：R. Chait在1904年发现两个随机写的数之间互素数的概率为6/PI 2。1995年4月，英国杂志《中国算学史》发表了一篇文章，描述了英国伯明翰阿斯顿大学计算机科学与应用数学系的罗伯特马修斯如何利用夜空中明亮恒星的分布来计算圆周率。马修斯随机分析了100颗最亮的恒星，计算了它们位置之间的角距离。他检查了一百万对因子，发现约为3.12772。该值与真实值的相对误差不大于5%。 圆周率的发现通过多种途径，包括几何、微积分和概率论，充分展示了数学方法的奇异之美。令人惊讶的是，PI竟然与这么多看似无关的实验联系在一起。 四色猜想 现代三大数学问题之一。四色猜想来自英国。1852年，当伦敦大学的毕业生弗朗西斯格思里来到一个科学研究所从事地图着色工作时，他发现了一个有趣的现象：“似乎每一张地图都可以用四种颜色着色，以至于有共同边界的国家相遇？