函数思维是指利用函数的概念和性质来分析、转化和解决问题。方程思维，从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式，或方程与不等式混合的群)，然后通过求解方程(群)或不等式(群)来求解问题。有时，还可以实现函数与方程的相互变换、积分，解决问题。

笛卡尔的方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题。宇宙中充满了方程和不等式。我们知道哪里有方程，哪里就有方程；有公式的地方，就有方程；评估问题是通过解方程来解决的。等等；不等式问题也与方程密切相关。制作方程、解方程、研究方程的性质都是应用方程思想时需要考虑的重要问题。

函数描述了自然界中物理量之间的关系，通过函数思想问题的数学特征，建立函数关系的数学模型，从而进行研究。它体现了辩证唯物主义的“联系与变化”观。一般来说，函数的思想是构造一个函数，从而利用函数的性质来解决问题，经常用到的性质有：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等，要求我们掌握一阶函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特征。在解决问题时，善于挖掘问题中的隐藏条件，构造函数的解析表达式和巧妙函数的性质，是运用函数思想的关键。只有对给定问题的观察、分析和判断更深入、更充分、更全面，才能产生从这里到那里的联系，才能构建函数的原型。此外，方程问题、不等式问题和一些代数问题也可以转化为相关的函数问题，用函数思想来解决非函数问题。

功能知识涉及的知识点多、涉及面广，在概念、应用和理解上都有一定的要求，因此在高考中是考试的重点。我们应用函数思想的几种常见类型的问题是：当我们遇到变量时，我们用构造函数的关系来解决问题；相关不等式、方程、最小值和最大值等，用函数的观点进行分析；在多变量数学问题中，选择合适的主变量来揭示函数关系。实际应用问题，转化为数学语言，建立数学模型和函数关系，应用函数性质或不等式等知识解；在算术和等差级数中，通项公式和前n项和的公式都可以看作是n的函数，级数问题也可以用函数法求解。中学数学的基础知识分为三类：一类是纯数的知识，如此类数、代数表达式、方程(群)、不等式(群)、函数等；一种是纯粹形式的知识，如平面几何、立体几何；一是关于数形结合的知识，主要体现在解析几何中。

数形结合是一种数学思维方法，包括“以形辅助数”和“以数辅助形”两个方面。它的应用大致可分为两种情况：或借助形式的生动性和直观性来阐明数与数之间的关系，即以形式为手段，以数字为目的，例如用函数的形象直观地说明函数的性质；或者通过数的准确性和规范的严谨性来阐明形式的某些属性，即以数为手段，以形式为目的，如用曲线的方程来准确地阐明曲线的几何性质。

恩格斯曾经说过：“数学是研究现实世界中数量和空间形式之间关系的科学。”数形结合是根据一个数学问题的条件与结论之间的内在联系，分析其代数意义，揭示其几何直觉，从而将数量的精确描述与空间形式的直观形象巧妙和谐地结合起来。通过充分利用这种组合，我们可以找到解决问题的方法，从而使问题变得更容易、更简单。“数”与“形”是一对矛盾。宇宙万物都是“数”与“形”矛盾的统一。华罗庚老师说：“数缺形少直观，形少时难微，数缺形结合万物好，分离分族万物。”

数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的形象相结合。关键是代数问题与图形之间的相互转换，使代数问题几何化，使几何问题代数化。在分析和解决数形结合的问题时，应注意三点：一是要透彻理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，分析数学问题中条件和结论的几何和代数意义；二是正确设置参数，合理使用参数，建立关系，以数思形，以形思数，做好数形转换；三是正确确定参数值的范围。

有些数学知识本身可以看作是数与形的结合。例如，锐角三角函数的定义是用直角三角形来定义的；任何角度的三角函数都是用直角坐标或单位圆来定义的。

数学思想在人类文明中的作用

1. 数学与自然科学：

在天文学领域，开普勒以第谷布拉赫的观测为基础，提出了天体运动的三大定律：(a)行星围绕太阳以椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的焦点之一。

(b)从太阳到行星的径向路径在等时间内扫过的面积为F(图)。

(c)行星绕太阳公转周期的平方与椭圆轨道c半长轴的立方成正比。

开普勒是世界上第一个用数学公式描述天体运动的人，他将天文学从古希腊的静态几何转变为动力学。这个定律极好地证明了毕达哥拉斯主义的核心数学原理。事实上，现象的数学结构提供了理解它们的关键。

爱因斯坦的相对论是物理学和宇宙的一次伟大革命。其核心内容是时空的变迁。牛顿力学的时空观认为空间和时间是不相关的。另一方面，爱因斯坦的时间和空间观认为时间和空间是相互关联的。爱因斯坦做出这一伟大贡献的仍然是他的数学思维方式。爱因斯坦的空间概念是德国数学家黎曼在相对论诞生50年前为他准备的。

在生物学中，数学使生物学从经验科学上升到理论科学，从定性科学上升到定量科学。它们的结合和相互增强已经并将继续产生许多奇妙的结果。生物问题促成了数学的一个分支——生物数学的诞生和发展，生物数学在今天已经成为一门完整的学科。它在生物学中的新应用主要表现在生命科学、生理学、脑科学三个方面。

2. 数学与社会科学

如果在自然科学领域，更多的是运用数学公式和计算能力；然后在社会科学领域，它可以体现数学思想的作用。

为了利用数学思想，人们必须首先发明一些基本公理，然后通过严格的数学推导来证明它们，从这些公理中推导出关于人类行为的定理。这些公理是如何产生的？用经验和思想。在社会学中，公理本身应该有足够的证据来证明它们是人类的，这样人们才会接受它们。说到社会科学，就别提数学在政治中的作用了。休谟曾经说过：“政治可以转化为一门科学。”在政治公理中，洛克的社会契约理论具有重要意义。它不仅是文艺复兴的代表，而且推动了整个社会的进步。西方资产阶级的文明比封建社会先进得多，但是它将被社会主义和共产主义的文明所代替。“为人民谋幸福”、“为人民服务”、“三个代表”应该也必将成为政府的基本准则。

在政治上不能不提到民主，而民主最直接的形式就是选举。数学在选票的分配中起着重要作用。首先，选票的分配必须公平。怎么才能做到呢？1952年，数学家阿罗证明了一个惊人的定理，即——阿罗不可能定理，即不可能找到一个公平合理的选举制度。也就是说，只有相对合理，没有绝对合理。世界上没有“公平”!阿罗不可能定理是数学应用于社会科学的一个里程碑。

在经济学中，数学的广泛而深入的应用是经济学最深刻的变化之一。现代经济学的发展对其自身的逻辑性和严谨性提出了更高的要求，这使得经济学与数学的结合成为必然。首先，严谨的数学方法可以保证经济学推理的可靠性，提高讨论的效率。其次，客观严谨的数学方法可以抵抗经济研究中的先入为主的偏见。第三，经济学中的数据分析需要数学工具，数学方法可以解决经济生活中的定量分析。

在人口学、伦理学、哲学等社会科学中也渗透着数学等值变换的思想，等值变换是将未知问题转化为现有知识范围内可解问题的重要思想方法。通过不断的转化，将不熟悉的、非标准的、复杂的问题转化为熟悉的、标准的甚至是模态方法的、简单的问题。高考多年来，等值转换思想随处可见。我们要不断培养和训练自觉转化意识，这有利于加强解决数学问题的应变能力，提高思维能力、技能和技巧。变换包括等价变换和非等价变换。等效变换要求变换过程中的前因和后果是充分和必要的，以保证变换的结果仍然是原问题的结果。非等价变换的过程是充分的或必要的，对结论进行必要的修正(例如，不合理的方程需要进行根检验)，可以给人们带来思考的亮点，找到解决问题的突破口。在应用中要注意变换的等价性和非等价性的不同要求，在实现等价变换时要保证等价性，以保证逻辑的正确性。

著名数学家、莫斯科大学教授贾卡亚曾在《什么叫解题》对奥数选手的演讲中提出：“解决一个问题，就是把待解决的问题转化为已经解决的问题。”数学解题的过程，就是由未知到已知，由复杂到简单的转换过程。

等效变换方法的特点是灵活性和多样性。在应用等价变换的思想方法解决数学问题时，没有统一的模式。可进行数到数、形到形、数到形的转换；它可以在宏观层面上进行等效转换，如在分析和解决实际问题的过程中，将普通语言转化为数学语言。它可以在符号系统内部进行变换，称为身份变形。消元法、代换法、数关联法、求值域问题等都体现了等价变换的思想，我们经常在函数、方程、不等式之间进行等价变换。可以说，等效变换是将恒等变形的变形提高到代数表达式的形式，以保证命题的真或假。由于其多样性和灵活性，我们应该合理设计转化的方式和方法，避免僵化的问题。

在数学运算中实施等效变换时，要遵循熟悉化、简化化、可视化、标准化的原则，即把遇到的问题转化为自己比较熟悉的问题来处理；或者把比较复杂、复杂的问题，转化为比较简单的问题，如从超越表达式到代数表达式，从无理数表达式到有理数表达式，从分数表达式到积分表达式……等。或较难解、较抽象的问题，转化为较直观的问题，以便准确把握问题的解题过程，如数字联想法；或者从非标准类型到标准类型。按照这些数学运算原理，变换过程省时省力，就像顺水推舟，往往渗透着等效变换的思想，可以提高解题水平和能力。在解决一些数学问题时，有时会出现多种情况，需要对各种情况进行分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，是一种重要的问题解决策略。它体现了整体分解成块、零积分成整体的思想和分类排序的方法。涉及分类讨论思维的数学问题具有明显的逻辑性、综合性和探索性，能训练人的思维组织性和通用性，因此在试题中占有重要地位。

进行分类讨论的主要原因如下：

这个问题中涉及的数学概念是通过分类来定义的。如定义| a | a0、a=0、a0三个条件。这种类型的范畴讨论问题可以称为概念型。

问题中所涉及的数学定理、公式、运算性质和规律受到范围或条件的限制，或者被分类给出。例如，几何级数的前n项和的公式可以分为两种情况：q=1和q1。这种类型的分类讨论可以称为属性类型。

(3)在求解包含参数的问题时，必须根据参数值的不同范围进行讨论。例如，在求解不等式ax2时，讨论了a0, a=0和a0。这被称为参数类型。

此外，一些数量不确定、图形形状或位置不确定、结论不确定等，主要是通过分类讨论，保证其完整性，使其具有确定性。

在分类讨论中，要遵循分类对象确定、标准统一、不遗漏、不重复、科学划分、分清主次、不超越讨论层次的原则。其中最重要的一条是“无泄漏，无重量”。

解决分类讨论问题，我们的基本方法和步骤如下：首先，必须确定讨论对象的范围和讨论对象的整体；其次，确定分类标准，正确合理的分类，即统一标准，无漏、无重、互斥分类(无重复);然后对分类进行了逐步讨论，得到了阶段性结果。最后，总结并得出结论。