周出生在一个牧师家庭，受母亲的影响很大。母亲教育子女，对人要真诚，对自己要严格，这深深刻骨于林玉的心中，成为他的人生之道。他的父亲是一名银行职员，整天和数字打交道。晚上回到家里，他总是会想出一些简单的算术题来问孩子们，所以周玉林从两岁开始就被训练做算术题。五岁时，他和他最小的妹妹一起去了一所私立学校，并开始阅读和写作。后来转学到清华中学附小，在小学时受到鸡和兔在一个笼子里等应用算术的训练，开始爱上数学。当我在高中的时候，我爱上了平面几何。我常常不满足于只用一种方法来证明一个问题，而是常常找到许多种方法来证明它。一天，一位姓朱的同学走过来对他说：“我提出了一个新定理，并证明了它!”周玉林听说，能创造出一个新的定理，思想受到了极大的启发，打开了他未来拥有无限创造欲望的大门。这时的周玉林对数学越来越感兴趣，他发明了平面几何中的级数定理，最简单的例子后来在《数学通报》年发表，初步显示了他的数学才能。1941年中学毕业后，考入大同大学数学系。在大学四年里，除了数学系的课程外，他还修完了物理系的所有课程，并以优异的成绩毕业。1945年秋，抗战胜利后，形势混乱，找工作困难。1946年秋，他到中央研究院数学研究所旁听陈的课。听了几个月的课后，陈老师了解了他的学习情况，让他到数学院工作。从那时起，他在数学研究所跟随陈学习拓扑学，并很快取得了成绩。这是周玉林人生道路上的第一个转折点。1949年初，解放军渡江南下，数学研究所不得不迁往台湾。周玉林不想去，但还是留在上海做研究。上海解放后，留在上海数学研究所，有人主动联系北大、清华大学工作。当时，段学夫是清华大学数学系的主任。他回信欢迎大家参加。1949年9月到清华大学数学系工作。1950年，他写了一篇40页的关于拓扑中流形的同伦群的文章，在该系作报告时受到段学富、华罗庚的高度赞扬，并被推荐全文发表于《数学学报》。1952年系调整，调任北京大学数理力学系。1953年被选派到苏联留学，学习俄语1年。在申请苏州留学时，他毅然选择了祖国急需的、在当时的中国还是一个空白的微分方程专业。他放弃了已经学过的拓扑学专业，开始了人生道路上的第二个转折点。

1954年秋，周玉林、张志芬赴苏联莫斯科大学数学与力学系攻读研究生。负责接待的是1950年到苏联当研究生的黄盾，他看到周玉林和张志芬志愿者填写的都只是微分方程，于是他取了主意，说：“周的数学基础好，学偏微分方程，张学常微分方程”，就这样，黄盾的话决定了两人的终身事业。周玉林师从国际著名女数学家奥勒尼克，成为新中国派往国外研究偏微分方程理论的第一人。经过3年的刻苦学习，终于在1957年夏天，周玉林以他在拟线性抛物方程研究方面的优异成绩，获得了前苏联物理数学副学士学位，他的毕业论文被评为优秀学位论文。在学习期间，他撰写了多篇高质量的论文，先后在前苏联主要学术期刊上发表。1957年夏回国后，他回到北京大学工作，从事数学和研究生培养工作，培养了一批高水平的教学科研人才。到1960年，在国内外学术期刊上发表学术论文20篇。1960年春，周玉林受命参加中国核武器理论研究，这是他人生道路上的第三个转折点。他与外界隔绝了近20年。“文革”后，周玉林和一些同志开始参加研究所外的一些学术活动，利用业余时间重新拾起搁置了近20年的偏微分方程进行研究。经过近30年的实际工作，他对问题的思考和方式有了新的方向和新的手段，他所研究的问题具有现实意义。就这样，他开始了人生的第四个转折点。此时，周玉林已步入老年，辞去了副主任的职务，潜心研究偏微分方程理论及其数值解。1980年以来，发表高质量学术论文100余篇，培养了一批高素质青年学者。周玉林作风严谨，一丝不苟，并具有较强的创作精神。他善于高度综合和概括，始终把“假设要弱，估计要精，结果要强”作为研究工作的要求。他的研究涉及拓扑学、偏微分方程、计算数学、流体力学和计算机应用。