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傅里叶积分算子

偏微分算子理论中的一个重要工具。它和准微分算子一起被称为“70年代技术”。拟微分算子的前身是具有强奇异性的卷积型奇异积分算子。

奇异积分算子

在n维空间Rn中，假设点x=(x1, x2…Xn ()

，

地点：

(1) (x)为零齐次；

(2);

(3) (x)在单位球Sn-1上的平均积分为0，即

以k(x)为核的奇异积分算子k是

（1）

在这里

最经典的例子就是所谓的里斯变换

其中Cn是某个只与n维数有关的常数，特别地，当n等于1时，这就是希尔伯特变换。作为1p，后者是一个从lp到lp的有界算子，这是一个相当深刻的经典结果。1952年，A.P. Caldren和A. Zangemon在极大弱化条件下成功证明了A一般(1)形式算子K的lp有界性(1p)。在Gilaud(1934 ~ 1936)、S.G. Michellim(1936 ~ 1948)等人的开创性工作中，建立了所谓的高维奇异积分算子Michelim-Caldren Zangemont理论，并将其应用于偏微分方程理论。

其算子代数(求乘积和取共轭)符号微积分定律，具有突出的意义。(2)系数(x)及其任意阶导数均有界；原子核约z是齐次的n次，在|上，|=1的平均值是0;对于任意和Z，当| Z |=1时，总是有界的。在这些条件下，可以证明任意(2)种形式的算子K是lplp的有界算子，并且在适当展开后也是Sobolev空间hshs的有界算子(其中1p且s为任意实数)。

对于任何由非负整数组成的n指标，总是让

，

。

(2)类算子的符号演算依赖于算子符号(或符号)的概念：取核k(x, z)关于z的傅里叶偏变换

，

定义算子K的符号为

（3）

利用它，根据傅里叶变换理论，我们可以将算子K表示为

（4）

这是正确的，至少在宇宙S(Rn)的背景下是正确的，这是一类无限可微的Schwalz函数，它们的导数有一些非凡的递减。由此，我们可以将这个公式推广到一些极限规划或对偶上，如cosmoslp(1p)，cosmoshs(到所有sR)，等等。

可以表示为(x因子)的函数是一个算子，K的符号根据(3)定义当且仅当(x因子)的齐次因子为零乘以(x因子C上(因子表示0)并且对于任意， ， Z，总是存在常数C ，

（5）

当 (x因子)满足上述条件时， (x)中的|因子对 (x因子)|平均=1，并取k (x因子)对 - (x因子)约为因子的傅里叶反变换的一部分，然后得到 k (x因子)是算子的一个符号。

从上面可以得出，符号类对于逐点乘法和取复共轭是封闭的(更不用说加法和数乘法了)。由两个形式(2)的奇异积分算子K1和K2的符号之积表示的奇异积分算子称为K1和K2的拟积，记为K1。K2;由形式(2)的奇异积分算子K的复共轭表示的奇异积分算子称为K的拟共轭，记为k#。因此，奇异积分算子的符号演算可以概括为：对于每一个R，差值K1K2-K1。K2和差K* -k #都是从hs到hs+1的有界算子。这里，对于每一个R，由于算子K(展开式后)是K _sh _s的有界算子，而hs自然可以看作是h_s的(复共轭线性)的对偶，因此K有一个一般意义上的共轭算子hshs的有界算子，记作K*。

需要指出的是，比如把符号变成一个只有因子的函数(因子)，(4)可以写成，或者是f - > K f是傅里叶乘数变换(对于这里涉及到的g，抭总是说g的傅里叶变换)本质上类似的变换在傅里叶级数理论中早就出现了。特别是J. Marchinkiewicz在1939年研究了多重傅立叶级数乘子变换的lp有界性(1p)。后来，S.G. Michelim对多重傅里叶积分做了相应的研究。由于这些历史原因和事物的本质，人们总是把一般的高维奇异积分算子看作变系数的傅里叶乘数。

Pseudo-differential运营商

在20世纪50年代末和60年代初，奇异积分算子的Michelim-Caldren Zangemon理论在偏微分方程的研究中充分显示了它的作用。例如A.P. Caldren用它推导出了线性偏微分方程Cauchy问题的唯一性定理，M.F. Atiya和I.M. Singer也建立了影响深远的椭圆算子指标理论。因此，一些数学家致力于创造一种算子代数，它除了奇异积分算子外，还包括变系数的一般线性偏微分算子及其反转(当它们存在时)，从而具有更精确和灵活的符号微积分定律。因此，拟微分算子理论应运而生。其创立的代表作品是1965年出版的《J.J.》。Cohen和L. Nirenberg的《拟微分算子代数》和L. Helmandel的《拟微分算子》。

考虑一个线性偏微分算子。为简便计算，设(x)及其各阶导数在Rn上有界。傅里叶反演公式

(6)

其中，如果uS(Rn)，这至少是成立的。与式(4)比较发现，当P(x)不是多项式，也不是零阶的正齐次函数时，也用式(6)定义了算子P(x, D)，称其为用P(x)表示的拟微分算子。当极限将P(x-)表示为适当的函数类时，所得到的拟微分子类形成易于操作的算子代数(包括共轭)。例如，你可以使用符号类：(m接受所有实数);P(xBSm，当且仅当且到任意， ;总有常数C， inZ

(7)

(3)形式-奇异积分算子，如(3)、(4)、(5)所示，基本上是零阶拟微分算子。当m=0时，(5)与(7)的差值是技术性的。

对于任意实数s，任何m阶的拟微分算子，经推广后，都是hs到hs- m的有界算子。

如果，则乘积算子A(x, D)B(x, D)也是拟微分算子C(x, D)，其符号C(x)由以下莱布尼茨规则渐近确定：

(8)

(模BS-DiaBSm)(m取全实数)。实际上，(8)表示：若对任意正整数N，设，则A(x, D)B(x, D)-CN(x, D)是m1+m2-N阶的拟微分算子，是有界算子(N越大越光滑)，若ABSm，则共轭算子A(x, D)*也是m阶的拟微分算子，其符号为。

特别地，由(8)可以看出：

A(x, D)B(x, D)=AB(x, D)下模项，

[A(x, D)， B(x, D)]

=-i {A, B} (x, D)模。这里[A(x, D)， B(x, D)]表示括号中两个算子的对易子，和

(9)

在经典力学中叫做泊松括号。

另外，拟微分算子作为微分算子，其变量变换后仍然是算子，即如tau: x和y=tau (x)是其中的Rn微分自同胚集(tau (x)的每阶微信业务都有界且雅可比矩阵det tau(x)的绝对值是下界)，对于任意是A的m阶微分算子，作为tau A (y, Dx)，其符号

正是拟微分算子的这个性质和它的复合规则使得它可以定义在任意C微分流形M上，用余切束T*M上的对象来表示。

关于拟微分算子理论的各种应用，在L. Nirenberg的《线性偏微分方程讲义》,F. Treves的《拟微分算子和傅里叶积分算子导引》和J. Chazarine和A. Pirio的《线性偏微分方程论导引》中有详细的说明。

必须注意的是，准微分算子的运算性质允许在微定位后处理许多关于偏微分算子的问题，例如，偏微分算子P(x, D)通过一定的单位分解( with适当的子集)分解成低阶项，等等。这与下面将要讨论的积分算子的傅里叶理论相结合，形成了偏微分算子理论中最强大的所谓“70年代技术”。它的最新表达和发展在C.L. Fefferman的书《不定性原理》中有描述。

傅里叶积分算子

在纯形式下，定义典型的局部傅里叶积分算子，只需将相函数x In(6)替换为更一般的函数S(X)，即

(10)在相位S (x, eta)假设是实现值函数，且因子是a均齐次，且的振幅符号(x, eta)属于一类(在拟微分算子理论中)，在|中，eta |满小时等于零；此外，S(x， )在振幅 (上有任意正实数不变)分支集的锥形定义域上，是(y， )(x)=(x)变换的典型函数，即

是的。所讨论的正则变换是使泊松括号(定义为(9))不变的变换。

傅立叶积分算符是通过几何光学和准经典近似获得经典波动过程的渐近表达式而导出的，适用于广泛的量子力学问题。pd拉，一方面是1957年以前的作品。。一方面马斯洛夫约于1965年工作，赫尔曼德尔于1968 ~ 1970年期间系统地建立了傅里叶积分算子的局部和一般理论。

正则变换及其相关的辛几何集是傅里叶积分算子理论及其应用的基石，它已经在中得到了介绍。。马斯洛夫的工作非常清楚。后来，。。Igor egorov(1969)的另一个重要发现：当A形似A算子(10)时，P和Q是一个类似于PA=AQ关系建立的微分算子，是P和Q(模量低阶项)由相位S (x, eta)产生的典型变换的符号。这意味着可以通过首先使用正则变换简化其符号来简化准微分算子，然后通过将相应的傅里叶积分算子应用于类似的变换来简化准微分算子。其实这只可能在微局部的顶部感觉，这种曲折的实现方法就是所谓的“70年代技术”。