不等式的证明

1. 比较方法

判断差商后公式的变形为正或负或与1比较

比较法-----要证明agtb，只需证明a-bgt0。

商比较——假设a和b都是正数，要证明agtb，只需证明a/bgt1

例1:x2+3gt3x

(x2 + 3) 3 x=x2-3x + () 2 - () 2 + 3

=+ gt0或更大

x2 + 3gt3x .

例2已知a、bR+和ab，因此验证

a5+b5gta3b2+a2b3

证明：(a5 + b5) - (a3b2 + a2b3)=(a5-a3b2) - (a2B3-B5)

=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)

=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)

,bR +

a + bgt0, a2 + ab + b2gt0

因为a不等于b，所以a - b等于2gt0

(a + b) (a - b) 2 (a2 + ab + b2) gt0

A5 + b5 - a3b2 + a2b3 gt0

a5 + b5gta3b2 + a2b3

例3:已知a、bR+，并证实：aabbabba

证明：=

a、bR+、gt1、a-bgt0、gt1

当ab，1,a-b0，1。

1个或更多，即aabb敏锐度abba

合成方法

理解算术平均和几何平均的概念，并使用平均不等式证明其他一些不等式

定理1当a, bR，则a2+b22ab(取“=”号当且仅当a=b)

证明：a2 + b2-2ab=(a - b) 20

取等号当且仅当a=b。所以

A2 +b22ab(等于号当且仅当a=b)。

定理2当a, b, cR+，则a3+b3+c33abc(取“=”号当且仅当a=b=c)

a3 + b3 + c3-3abc

=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)

=(a + b + c)/(a - b) - c (b) 2 + 2 + 2] (a - c)或0

a3 + b3 + c3 3 ABC或更高

显然，当且仅当a等于b等于c。

例1:假设a, b, c是不完全正数，验证

a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)gt6abc.

收缩的方法

这也是基于不等式传递性分析的一个特例——

Ab, bc，然后Ac，只是表明大于或等于bc (A)

例如，证明当k是大于1的整数时，

我们可以用——“逐步放大”的约简法证明如下：

分析方法

从待证明的不等式开始，我们寻找不等式为真的“充分”条件，并一步一步地这样做，回到已知的条件或一些真命题。例如，为了证明a2+b2大于2ab，通过分析我们知道a2+b22ab的某个“充分”条件是a2-2ab+b2大于0，即(a-b)2大于0。A2 +b22ab为真。分析证明过程由一系列“to prove…”来表示。只要……，最后是已知的条件或真命题

例如：

证明：

构造图证明不等式

A b c都是正数。

+gt

分析证明：观察原不等式的形式为a2+ab+b2，即a2+b2+ab，并考虑余弦定理：c2=a2+b2- 2abcosc。为了得到a2+b2+ab的形式，只要C=120

你可以把a b看作邻边，三角形的第三条边，这个角是120度

你可以把它看成b c是邻边，三角形的第三条边是120度角

你可以把(a, c)看作邻边，三角形的第三条边，这个角是120度

构造图如下图所示

AB=

BC=

AC=

显然AB + BCgtAC，所以这是对的。

数值关联法

数形结合是指通过数与形的对应变换来解决问题。定量关系借助图形性质，可以使许多抽象的概念和关系直观、生动，有利于探索解决问题的方法。这通常是用形助数，一些涉及图形的问题可以转化为数量关系，得到一个简单而广义的解，即所谓数解形。数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合。通过对图形的理解和数形的变换，可以培养思维的灵活性。通过数与形的结合，可以将复杂的问题简化，将抽象的问题具体化。

证明，当XGT 5x-2时

解：令y1=， y2=x-2，使原不等式的解集为函数y1gty2的x取值范围。在同一坐标系中分别绘制这两个函数。设它们交点的横坐标为x0，则=x0-2gt0。解，x0=5或x0=1(圆)。从图中可以很清楚地看出。

反证法

首先，假设不等式的另一边为真，然后推导出结论与已知条件(或已知真命题)相矛盾，以此类推。

穷举方法

待证明的不等式根据已知条件分成不同的情况进行证明(防止重复或遗漏可能的情况)。

注意：以上方法在证明不等式时要灵活运用，可以通过多种方法的运用来提高思维能力。