既然我们学了代数，根据定义，mathbbR^n中的可测集合就是代数。

什么是可测集合你们稍后会学到，但我要提前告诉你们，可测集合的性质正好满足代数的三点定义，所以可测集合的类别是代数。

\mathbbR^n的可测集合类是什么？首先，区间(不论是开的还是闭的)必须是可测的，根据\mathbbR^n中开集的构造，任何开集都可以表示为最多可数的半开和半闭方体的并，因此根据——闭——关于可数并运算的可测性质，\mathbbR^n中的开集也可以被测量。

如果你把集合分开，做各种运算，比如求补、可数并、可数交、上下限、差值等等，根据可测集合的性质，运算的结果仍然是可测的。我们给这些结果起了个名字，我们叫它们Borel集。

存在非Borel集的可测集，因此我们在这里不考虑它们。现在我们把对开集的运算结果称为Borel集。

例如，当你取补时，一个开集就是一个闭集，所以一个闭集就是一个Borel集。一个开集取一个可数并集或者是一个开集(一个开集的任何并集都是一个开集)，所以一个开集也是一个Borel集。当开集取可数交集时，得到集合G＿ \delta;如果你取一个闭集的可数并集，你会得到F＿ \sigma，所以这两种集合也是Borel集合。

这些集合可以对彼此执行操作，例如开集交叉闭集，闭集减去G＿ \delta集合，等等。但是不管你怎么做，结果总是一个可测量的集合，所以所有Borel集合的族也是一个\sigma代数。我给它另一个名字，我叫它博雷尔代数。

这只是为了直观地了解博雷尔集是什么，博雷尔代数是什么。博雷尔集合的整个构成我从可测集合的性质中得到，包括集合的测度。现在我想考虑是否有更简单的方法来表示Borel集合和Borel代数而不需要借助测度的概念。

由于博雷尔集是通过对一个开集进行运算得到的，所以博雷尔代数必须包含所有的开集。那么问题来了，可能有很多种包含所有开集的代数(例如，全局集的幂集也是包含所有开集的代数)，这些代数和Borel代数之间的关系是什么？这涉及到另一个概念：生成代数。

你说你刚刚学了代数，那么应该有一个关于由集合族生成的代数的参考。如果你不明白，请参考闭包的概念，它与生成代数的概念非常接近。闭包是包含该集合的最小闭集，它是包含该集合的所有闭集的交集。由集合族生成的\sigma代数是包含该族的最小的\sigma代数，即包含集合族的所有\sigma代数的交集。

定义和直觉之间没有矛盾，Borel代数的集合称为Borel集合，这相当于说所有Borel集合的族是Borel代数。由于博雷尔代数是由开集生成的，它当然包含所有的开集，并且它是通过对开集进行各种操作(取补、可数交叉可数并等)得到的。

所以我们把Borel集合看作是开集和各种运算的结果，Borel代数就是取所有的Borel集合，使用\代数的三点定义，然后发现Borel集合族满足定义，所以Borel集合族是\代数，它有一个特殊的名字Borel代数。