“奔驰”定理的3种证明，并应用于三角形5心计算：内心、外心、重心、垂心、旁心
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首先介绍了本茨定理的几种证明方法，然后应用本茨定理计算了三角形的五个中心：内中心、外中心、重心、垂直中心和边中心。
设P是ABC内的一个点，验证：
S_\cdot\overrightarrow+S_\cdot\overrightarrow+S_\cdot\overrightarrow=\overrightarrow\\
扩展AP到BC到Q，很容易知道
\begin\frac=\frac}}=\frac}}\\=\frac+S_}+S_}\\=\frac+S_}}\\\therefore\quad\frac=\frac+S_}}\end\\
所以
\overrightarrow=\frac+S_}}\cdot\overrightarrow\\
基于共线向量，我们得到
\overrightarrow=\frac}+S_}\cdot\overrightarrow+\frac}+S_}\cdot\overrightarrow\\
所以
\begin\overrightarrow=\frac}}\cdot\overrightarrow+\frac}}\cdot\overrightarrow\\-\overrightarrow=\frac}}\cdot(\overrightarrow-\overrightarrow)+\frac}}\cdot(\overrightarrow-\overrightarrow)\\-S_\cdot\overrightarrow=S_\cdot(\overrightarrow-\overrightarrow)+S_\cdot(\overrightarrow-\overrightarrow)\\-S_\cdot\overrightarrow=S_\cdot\overrightarrow+S_\cdot\overrightarrow-(S_+S_)\cdot\overrightarrow\\(S_+S_)\cdot\overrightarrow-S_\cdot\overrightarrow=S_\cdot\overrightarrow+S_\cdot\overrightarrow\\-S_\cdot\overrightarrow=S_\cdot\overrightarrow+S_\cdot\overrightarrow\\\end\\
所以
S_\cdot\overrightarrow+S_\cdot\overrightarrow+S_\cdot\overrightarrow=\overrightarrow\\
设\angleAPB=\alpha，\angleAPC=\beta,PA=x,PB=y,PC=z，并在方程左侧点乘向量\右上方
\begin(S_\overrightarrow+S_\overrightarrow+S_\overrightarrow)\cdot\overrightarrow\\=\fracyz\sin[2\pi-(\alpha+\beta)]\cdotx^+\fraczx\sin\beta\cdotxy\cos\alpha+\fracxy\sin\alpha\cdotzx\cos\beta\\=\fracx^yz[-\sin(\alpha+\beta)+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta]\\=0\end\\
事实也是如此
(S_\overrightarrow+S_\overrightarrow+S_\overrightarrow)\cdot\overrightarrow=0\\(S_\overrightarrow+S_\overrightarrow+S_\overrightarrow)\cdot\overrightarrow=0\\
S_A\overrightarrow+S_B\overrightarrow+S_C\overrightarrow=\overrightarrow\\
记
\overrightarrow=S_\cdot\overrightarrow+S_\cdot\overrightarrow+S_\cdot\overrightarrow\\
所以
\overrightarrow\TIMEs\overrightarrow=S_\cdot\overrightarrow\times\overrightarrow+S_\cdot\overrightarrow\times\overrightarrow+S_\cdot\overrightarrow\times\overrightarrow\\
因为
\overrightarrow\times\overrightarrow=\overrightarrow\\|S_\cdot\overrightarrow\times\overrightarrow|=S_\cdot|\overrightarrow|\cdot|\overrightarrow|\cdot\sin\angleBPA=S_\cdotS_\\|S_\cdot\overrightarrow\times\overrightarrow|=S_\cdot|\overrightarrow|\cdot|\overrightarrow|\cdot\sin\angleCPA=S_\cdotS_\\\therefore|S_\cdot\overrightarrow\times\overrightarrow|=|S_\cdot\overrightarrow\times\overrightarrow|\\
注意向量scdot乘上右箭头，scdot乘上右箭头方向相反，所以
\overrightarrow\times\overrightarrow=\overrightarrow\\
同样的道理
\overrightarrow\times\overrightarrow=\overrightarrow\\\overrightarrow\times\overrightarrow=\overrightarrow\\
不难确定
S_\cdot\overrightarrow+S_\cdot\overrightarrow+S_\cdot\overrightarrow=\overrightarrow\\
上面定理中的点P是任意的，所以当P是
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