区间再现公式及其推论

1. 区间复制(区间复制是指积分的积分区间在变量替换前后保持不变)公式：\begin\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx\quad(1)\end\\2。变量\ begin \ int_a ^ bf (x) dx=\ frac \ int_a ^ b (f (x) + f (a + b - x)) dx \ quad (2) \ \ end通常这个变量可以用来计算一些复积分，如下类型(1)类型(2)。

证明：令t=a+b-x，则x=a+b-t,dx=-dt，

I=\ int_a ^ bf (x) dx=- \ int_b ^ af (a + b) dt=\ int_a ^ bf (a + b - x) dx=J

I=\frac(I+J)=\frac\int_a^b(f(x)+f(a+b-x))dx#

3.一些简单的推论：

\ \ \ begin \ int_a f (x) dx=\ int_ ^}} ^ bf (a +b- x) dx \ quad (3) \ \ \ begin \ \ end int_} ^ bf (x) dx=\ int_a ^} f (a +b- x) dx \ quad (4) \ \ \ end type (3) with type(4)可以改变x=a+b-t，请证明自己。

4. 将式(1)和式(3)结合可得

\begin\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx\\=\int_a^}f(a+b-x)dx+\int_}^bf(a+b-x)dx\\=\int_a^}f(a+b-x)dx+\int_a^}f(x)dx\\=\int_a^}(f(x)+f(a+b-x))dx\end\\

因此，

\ \ int_a开始^ bf (x) dx=\ int_a ^} \离开(f (x) + f (a + b个x) \右)dx \四(5)\ \ \ 5结束。同样地，将式(1)和式(4)结合，我们可以得到

\begin\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx\\=\int_a^}f(a+b-x)dx+\int_}^bf(a+b-x)dx\\=\int_}^bf(x)dx+\int_}^bf(a+b-x)dx\\=\int_}^b(f(x)+f(a+b-x))dx\end\\

因此，\ begin \ int_a ^ bf (x) dx=\ int_} ^ b (f (x) + f (a + b - x)) dx \ quad (6) \ \ end然后说明上述几种在求解积分公式中的应用。

二、利用区间再现公式计算积分

例1。整合\ int_0 ^} \ fracdx

解决方案：

\beginI=\underbrace}\fracdx}_-x}=\int_0^}\fracdx=J\end\\

因此，利用式(2)可得

\beginI=\frac(I+J)=\frac\int_0^}\fracdx=\frac\end\\

例2。积分\int ＿0^\fracdx

解决方案：\ beginI=\ \ fracdx下划线}}_ - x}=\ int_0 ^ \ \} \ fracdx=J \ end使用公式(2)

\beginI=\frac(I+J)\\=\frac\int_0^}\fracdx\\=\frac\int_0^}(cos^2x-cosxsinx+sin^2x)dx\\=\frac-\frac\int_0^}cosxsinxdx\\=\frac-\frac\underbrace}sin2xd(2x)}_\\=\frac-\frac\int_0^\pisinxdx\\=\frac\end\\

注意：本题使用的是立方和公式a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)。

例3。积分\int ＿0^\frac

解：由式(1)得到

\beginI=\underbrace}\frac}_-\alpha}\\=\int_0^}\frac\\=2\int_0^}\frac)}cos\fraccos\beta}\\=2\int_0^}\fracd(\frac)}+2tan\fraccos\beta}\\=2\int_0^}\frac)}+2tan\fraccos\beta}\\=2\int_0^}\frac+cos\beta)}+cos\beta)^2+1-cos^2\beta}\\=\frac\left[arctan\frac+cos\beta)}\right]|_0^}\\=\frac\left(arctan\left(\frac\right)-arctan\left(\frac\right)\right)\\=\fracarctan\left(\frac)-(\frac)})(\frac)}\right)\\=\fracarctan\left(\frac\right)\\=\fracarctan\left(\fracsin\frac}}-1}\right)\\=\fracarctan\left(tan\frac\right)\\=\frac\end\\

例4。证明：

\begin\int_0^\pixf(sinx)dx=\frac\int_0^\pif(sinx)dx\\=\pi\int_0^}f(sinx)dx\\=\pi\int_0^}f(cosx)dx.\\end\\

证明：设x=a+b-t

\beginI=\int_0^\pixf(sinx)dx\\=-\int_\pi^0(\pi-t)f(sin(\pi-t))dt\\=\pi\int_0^\pif(sin(t))dt-\int_0^\pitf(sint)dt\\=\pi\int_0^\pif(sin(x))dx-I,\end\\

因此

\ beginI=\ int_0 ^ \ pixf (sinx) dx=\ frac \ int_0 ^ \ pif (sinx) dx， \ \ \ end

因此

\begin\int_0^\pixf(sinx)dx=\frac\int_0^\pif(sinx)dx\\=\pi\int_0^}f(sinx)dx\\=\pi\int_0^}f(cosx)dx\quad\#\end\\

0

解：用例4的公式，可得

\begin\int_0^\pi\frac}dx=\frac\int_0^\pi\frac}dx\\=\pi\int_0^}\frac}dx\\=-\pi\int_0^}\frac}\\=-\pi[\ln(cosx+\sqrt)]|_0^}\\=\pi\ln(1+\sqrt)\end\\

总结：从上面的例子可以看出，区间复制公式使用的关键在于变量代换x=a+b-t。在计算积分时，通过变换后的观察，合理选择式(1)-式(6)中的一个公式。此外，区间再现公式常用于计算涉及三角函数的复数积分，有时也可用于计算涉及指数函数的积分。