阶乘（factorial）是由法国数学家 Christian Kramp 于 1808 提出的，最早定义如下：正整数 n 的阶乘是所有小于及等于 n 的正整数的积，记为，n! = n×(n-1)×...×2×1由此可见，原始的 阶乘 并不包括 0!，后来随着 数学的发展，产生了 对于 0! 的需求，例如：组合数定义： C_n^m = n! / [m!(n-m)!]，当 m = 0 或 n 时 C_n^0 = C_n^n = 1/0!；泰勒公式：f(x) = f(a)/0! + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x - a)²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n! + ...；于是就需要在原来的定义中引入 0!。

（对原始阶乘定义进行扩展）从原来的定义中抽出两个规则：1! = 1n! = n × (n-1)!根据规则 2，有：1! = 1 × (1-1)! = 1 × 0!再根据规则 1，有：1 = 1 × 0!进而得到：0! = 1于是将上面的规则改为：0! = 1n! = n × (n-1)! (n > 0)用这个规则 替代 原来的定义 作为新的 阶乘定义。

（从另外一个角度证明）定义 Γ 函数 （s > 0）：很容易证明：Γ(s + 1) = s Γ(s)因此，有：Γ(n + 1) = n! 可见 Γ 函数 是 阶乘的 连续性 推广，有：Γ(1) = Γ(0 + 1) = 0! 而：故，0! = 1（回到最初）基于生活经验，我们知道 从 n 个球中 选取 n 个球 只有一种选取方法：全选，因此 C_n^n = 1，而开始 组合数定义 得到 C_n^n = 1/0!，于是 1 = 1/0! 这推出：0! = 1对 f(x) = x 在 x = 1 附近进行幂级数展开：f(x) = f(1)/0! + f'(1)(x-1)/1! + ... = 1/0! + x - 1于是有：x = 1/0! + x - 1这同样推出：0! = 1

这是规定，无需证明。

按照这个运算即可。