老黄要讲一个带反三角函数的奇函数方程，如何用牛顿正切法求解。牛顿的正切法在“老黄学大数”系列视频第211讲中有详细介绍。具体步骤分为三个步骤：(1)确定根的大致位置；(2)用点级数逼近方程的根；(3)检验近似根的绝对误差。在实践中，会有一些调整。

求方程x-2arctanx=0的根的近似值，精确到0.001。

分析：为了在解决问题的过程中便于描述，我们会记住真正的根源。

为了确定根的一般位置，并为点列表做准备，通常对f (x)求一阶和二阶导数。

从f'(x)=(x^2-1)/(1 x^2)我们知道函数有两个稳定点，x=1和x=-1。

F '(x)=4x/(1 x^2)^2 F '(1)0 F '(-1)0。所以x=-1是函数的最大值，x=1是函数的最小值。所以最大值f(-1)0，最小值f(1)0，意味着在开区间(-1,1)上，我们有这个方程的一个根，但是我们已经确定了根，即x=0。

当x趋于负无穷时，f(x)小于0，当x趋于正无穷时，f(x)大于0。这里我就不求极限了。

由此可见，方程中有三个根，分别记为：10 - 2。确定它们的大小关系，指定1为负，2为正，且彼此为负。你只需要算出其中一个，另一个自然会得到解决。现在我们来选择正根。

因为f (2)=2-2 arctan2材料- 0.2140,f (3)=3-2 arctan3材料- 0.5020，所以开放区间(2,3)中的因子2，我要用计算器算出反函数。不要说，“你为什么不直接用计算器求方程的根呢？”除非你真的能做到。

总结一下：牛顿正切法的第一步，确定根的近似位置的一般步骤是：求函数的一阶导数和二阶导数；一阶导数用来确定稳定点。二阶导数用来确定极值点。根据极值和函数趋于无穷的符号性质，确定了根的个数。检查根附近点的函数符号性质；确定根的一般位置。

然后开始第二步，首先澄清根区间的单调性和凸性。显然，这个函数在(2,3)处，一阶导数大于0，是单调递增的，二阶导数大于0，是凸向下的。它属于牛顿求一列点的切向法的第二种情况，如下所示：(注意，这个像不是f(x)像的一部分)

在这种情况下，你必须从右边开始。即曲线的切线从点(3,0.502)出发，与x轴相交于点x1，则可得x1约为2.373。第一点通常不准确。

如果继续与x点相切并与x轴相交于x2点，我们发现x2近似于2.331。一般来说，这一点很可能满足精度要求。此时，您有两种选择。

按照老黄提供的方法，就是重复以上步骤，继续找到点x3, x3约为2.331。显然，2.331是方程的近似根，等于0.001。

现在，在牛顿正切法的常规程序中，第三步是检查x2或x3的误差是否准确。是求导数f'(x)在[2,3]上的最小值，其结果约为0.6。然后用x2的函数值的绝对值除以这个最小值，结果约等于0.00013，远小于0.001，说明x2的误差满足精度要求。所以2.331是方程的近似根，精度为0.001。

有两种方法，你喜欢哪一种都可以使用。当然，黄更喜欢用自己的方法。但你会对牛顿切向法的权威更有信心。

在这里，老黄突然发现他的方法不准确。黄决定今后放弃这种方法。老黄并没有在这篇文章中放弃。我是想告诉你数学不及格没关系。有错误，就会有真理。至于为什么Huang的方法不严谨，可能是x1和x2的差值很小，但是x2和x3的差值变大。

最后，根据奇函数的性质，我们知道方程的另一种约简等于-2.331。

函数f(x)的图像如下所示。

最后，将整个问题的求解过程以图片的形式展示如下：

多练习几个问题，你就会喜欢这种近似解方程根的方法。