【遇见数学创作团队】作者： Bad Ke Savage，引用自Mathologer视频(跳转链接)

前言

本文给出了一个高中生都能理解的证明方法，这是瑞典数学家约翰海因里希兰伯特在1761年给出的。该方法利用三角函数的泰勒级数展开并巧妙地反复使用倒数技巧得到tanx的连分数表示，然后证明这个连分数是一个无理数。相信这也是世界上第一个证明无理数的方法。这种方法简单易懂，甚至从目前来看，其思路很有启发性。

约翰海因里希兰伯特(图二，左三)

准备工作

1）无理数和反证法

无理数是不能写成分数的数。如果需要证明一个数是无理数，大多采用反证法，即假设它可以表示为两个整数的比值，然后推导出矛盾来证明假设不成立。

比如如何证明lg3是非理性的？设lg3是有理数，所以有。

也就是

双方都被提升到n的幂。

得到

这个等式显然不成立，因为它的左边是偶数，右边是奇数，导致结果矛盾，所以lg3是有理数的假设不成立。附件1中有几个练习。请尝尝它们。

2）连分数

Continuedfraction也称为复数分数，是一种形状如下图所示的分数：

其中a0、a1、a2…….b0，b1，b2…….是实数或复数。连分数常用来近似无理数，这也是学习连分数，想把实数表示为& quot纯数学& quot。连分数理论在数学中起着重要的作用。它是数论和线性方程组研究中的重要工具，也与概率论、级数递归、函数逼近、工程技术、计算机科学等相关。

伟大的数学家欧拉广为人知的连分数。欧拉证明了所有分子为1，所有分母为正整数的无限简单连分数是无理数。

其实上图中的无穷连分数等于，它的分母是121212.无限循环。欧拉利用连分数的这种无理数性质证明了自然基e是无理数，得到了e的无穷连分数形式：

从第二个2开始，它的分母是211，411，611，811，1011。欧拉在柏林科学院的同事兰伯特对欧拉关于连分数的研究和成果很熟悉，所以他想出了一个好主意：把tanx写成连分数。

3）麦克劳林公式

麦克劳克林公式是泰勒公式在x=0时的特殊形式。如果f(x)在x=0时按n阶连续可导，则以下等式成立：

在…之中

表示n阶导数和(01)。因为y=sinx在x=0处有任何导数，所以用McLaughlin公式展开x=0处的sinx，得到：

类似地，展开cosx得到：

证明过程

第一步，Lambert得到了tanx的连分数表示：

第二步，Lambert证明了当x是0以外的有理数时，tanx是无理数。所以tan(1/2)和tan(3/4)是无理数。

再次，由于tan(/4)=1，1不是无理数，/4不能写成分数，即不是有理数，从而证明是无理数。

1）第一步，得到tanx的连分数表示

替换sinx和cosx的展开式

得到

从红色分数分子中提出一个x，

因为

所以有。

将红色分数线上的分子加上红色分数线上的分母，再减去红色分数线上的分母，得到

调整顺序

移除括号

计算红框中相应的项目，得到

类型，蓝色背景的两个部分是相同的，因为

所以有。

对红色分割线上的分子提出-x2，得到

再次使用倒易技术得到

反复使用分子加减法分母法，这次因为分母是1/3，为了消去红色分数线上的常数1，分子加3倍分母减3倍分母得到。

完成排序

如此反复计算，终于得到。

这个结果可以通过比较tanx和连分数的图形来验证。下图是取第一层连分数时的图形(蓝色)与

2）第二步，证明x为有理数时tanx是无理数

设x是一个有理数，那么x可以写成u/v，其中u和v都是正整数，代入即可得到。

化简右连分式，分子分母都乘以V，得到

这个无穷连分数，除了第一个分子是u，其他所有分子都是u，分母越来越大，也就是从某个地方往回，分母会比分子大很多。现在我们来证明这个无穷连分数是无理数。

根据U和V的不同，可能是55v或者555v比U大，所以没必要把5v设置成比U大2，所以从这一点向前，所有分母都比分子至少大2。

经过

得到

那么下图蓝色后面的部分都是大于0小于1的。

同样，如下图所示，从7v开始，之后的所有部分也都是大于0小于1。

如果上面两个图中的蓝色部分或绿色部分是无理数，那么整个连分数就是无理数。现在

来证明从5v开始的蓝色无限连分数是无理数。令蓝色部分等于B/A，有B/A<1，即A>B。

所以得到：

再考虑7v向后的部分，整理上面的式子得到下式

由于A、B、v、u都是整数，所以B5v-Au²也是一个整数，令其等于C。

因为7v向后的部分也是大于0小于1的，所以又得到：

所以现在有：

再考虑9v向后的部分又得到：

因为这是一个无限连分数，所以反复这样做可以得到一个无限递减数列：

由于数列中所有数都是正整数，而数列的大小是无限的，无论A有多大，始终都会在有限次递减后小于0，所以不存在这样的一个递减数列。

于是，之前从5v开始的蓝色部分无限连分数是有理数的假设是错误的。于是得到

tan(u/v)=无理数

3）第三步，π是无理数

因为

而1不是无理数，根据原命题与逆否命题具有相同的真假性（如果π/4=u/v，那么应该得到一个无理数而不是1），得到π/4不是有理数，所以π不是有理数。

得证。

4）一张图总结

附一，练习

为什么？为什么我只能推导出下面的不等式？

2）

是无理数吗？怎么证明？

3）

是无理数吗？怎么证明？

​

4）怎么推导出根号3等于下图中的连分数？

​

5）文中推导tanx的连分数时，给分子加上了一个分母又减去一个分母。其中无论是分子还是分母，都是很大的无穷级数，它们应该不支持交换律和结合律，但兰伯特为什么能对分子进行去括号、交换计算顺序等操作？

​

附二，最短证明，也就是数学家IvanNiven给出的证明：