cscx等于什么(数学笔记)
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一、引言
:lim(x-0)(tanx-sinx)/x 3如果换成等价无穷小。
tanx~x，sinx~x
因此
lim(x-0)(tanx-sinx)/x^3
=lim(x-0)(x-x)/x^3
=0
这是错误的用法。
因为分子和分母是不同阶的，用等价无穷小代替不够精确，所以会造成误差。
正确的解决方案是：
lim(x-0)(tanx-sinx)/x^3
=lim(x-0)[tanx(1-cosx)]/x^3
=lim(x-0)tanx/x*lim(x-0)(1-cosx)/x^2
=1*1/2
=1/2
从上面的题目可以看出，用等价无穷小代替0/0型的极限是有局限性的。
为此，介绍了求(0/0型)极限的方法：洛必达法则.
二、洛必达法则
1、0/0型若：(1)f(x),g(x)在x=a去心邻域内可导且g'(x)0
(2)lim(x-a)f(x)=0,lim(x-a)g(x)=0
(3)lim(x-a)[f'(x)/g'(x)]=A
则lim(x-a)[f(x)/g(x)]=A
证明：
设f (a)=0，g (a)=0，函数值对极限值没有影响，可以取任意值。
lim(x-a)f(x)=f(a)=0
lim(x-a)g(x)=g(a)=0
所以f(x)，g(x)在x=a邻域内连续，去心邻域内可导且g'(x)0.
所以f(x)/g(x)=[f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]=f'(,)/g'(,),(和)在A和x之间
所以lim(x-a)f(x)/g(x)=lim(x-a)f'()/g'()
x-a即-a
原始公式
=lim(-a)f'()/g'()
证明一下！
2、/型
若：(1)f(x),g(x)在x=a去心邻域内可导且g'(x)0
(2)lim(x-a)f(x)=,lim(x-a)g(x)=
(3)lim(x-a)[f'(x)/g'(x)]=A
则lim(x-a)[f(x)/g(x)]=A
证明方法同上。
例1: lim (x-0) xlnx (0 *转换成0/0型)=lim(x-0)lnx/(1/x)=lim(x-0)[(1/x)/(1/x 2)]=lim(x-0)。=e^lim(x-0 )sinxlnx=e^lim(x-0 )[lnx/cscx]=e^lim(x-0 )[(1/x)/(-cscxcotx)]=e^lim(x-0 )(sinxtanx/x)=e^-lim(x-0)x=1
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